Миллиарды и миллиарды. Размышления о жизни и смерти на рубеже тысячелетий

РАСЧЕТ ВОЗНАГРАЖДЕНИЯ, КОТОРОЕ ШАХ ДОЛЖЕН БЫЛ ВЫПЛАТИТЬ ВИЗИРЮ

Давайте подсчитаем, сколько же зерен пшеницы нужно было поместить на шахматную доску из персидской легенды. Не пугайтесь, это не сложно!

Следующий изящный ход позволит нам получить практически точный результат.

Показатель степени говорит, сколько раз мы умножили число 2 само на себя. 2² = 4, 2⁴ = 16, 2¹⁰ = 1024 и т. д. Пусть S – общее количество зерен на доске, от одного зернышка на первой клетке до 263 на 64-й. Тогда, очевидно:

S = 1 + 2 + 2² + 2³ +… + 2⁶² + 2⁶³.

Просто умножив на два обе части уравнения, приведем его к виду:

2S= 2 + 2² + 2³ + 2⁴ +… + 2⁶³ + 2⁶⁴.

Вычтем первое уравнение из второго:

2S – S=S= 2⁶⁴ – 1.

Это и есть ответ.

Чтобы представить размер этого числа, перейдем к обычной десятичной записи. 2¹⁰ – это примерно 1000, или 10³ (с разницей в 2,4 %). Таким образом, 2²⁰ = 2^{(10 × 2)} = (2¹⁰)² = примерно (10³)² = 10⁶, что есть 10, взятые шесть раз, т. е. миллион. Аналогично, 2⁶⁰ = (2¹⁰)⁶ = примерно (10³)⁶ = 10¹⁸. Тогда 2⁶⁴ = 2⁴ × 2⁶⁰ = около 16 × 10¹⁸, или 16 с восемнадцатью нулями – 16 квинтиллионов зерен. Точный расчет дает 18,6 квинтиллиона.

* * *

Еще один яркий пример геометрической прогрессии связан с понятием так называемого периода полураспада. Радиоактивный «материнский» элемент, допустим, плутоний, распадается в дочерний элемент, обычно менее опасный. Это не моментальный процесс, он протекает во времени по определенному закону. Через известный промежуток – период полураспада – распадется половина атомов. Оставшиеся продолжат делиться, по прошествии еще одного такого же временного интервала половина их также распадется и т. д. Например, при периоде полураспада, равном году, половина имеющегося количества атомов распадется через год, половина оставшейся половины, или четверть исходного количества, – через два года, одна восьмая от начального числа – через три года, одна тысячная – через 10 лет и т. д. У каждого элемента свой период полураспада. Этот показатель приходится учитывать при решении проблемы хранения отработавшего топлива АЭС или при расчете радиоактивного заражения местности в ходе ядерной войны. Это пример экспоненциального уменьшения, противоположный представленному в персидской легенде экспоненциальному росту.

Радиоактивный распад лежит в основе основного метода археологической датировки. Если измерить содержание в образце двух радиоактивных материалов – материнского и дочернего, являющегося результатом его распада, – то можно оценить возраст образца. Благодаря этому методу мы узнали, что так называемая Туринская плащаница не погребальные пелены Христа, а поддельная реликвия XIV в. (когда она была обнародована церковными иерархами), что гоминиды устраивали стоянки с кострами миллионы лет назад, что самым древним ископаемым останкам живого существа, найденным на Земле, по меньшей мере 3,5 млрд лет, а самой Земле 4,6 млрд лет. Разумеется, космос еще на миллиарды лет старше. Если вы понимаете, что такое геометрическая прогрессия, многие тайны Вселенной открываются перед вами.

Зная лишь качественные характеристики какого-то явления, вы не двинетесь далее самого общего представления о нем. Количественная характеристика – определенный числовой параметр, отличающий его от бесчисленного множества других феноменов, – первый шаг к подлинному познанию. Вы начинаете постигать красоту этого явления, скрытые в нем возможности и закономерности. Боязнь цифр равносильна добровольному отказу от гражданских прав, поскольку вы сами себя лишаете одного из самых действенных инструментов постижения и изменения мира.

Глава 3 Диванные охотники