Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Правило № 1:

Текст в серых блоках можно не читать (но только не этот)!

В каждой главе есть «отступления», в которых я рассказываю о чем-то интересном, что упомянуто в основном тексте, но в логику рассуждений не вписывается: это может быть лишний пример, подробное доказательство или информация, рассчитанная на более искушенного читателя. При первом чтении (равно как и при втором или третьем) вам, возможно, захочется эти «отступления» проигнорировать. Но я очень надеюсь, что вам все же захочется перечитать эту книжку: математика – такая вещь, к которой хочется возвращаться снова и снова.

Правило № 2. Не бойтесь пропускать отдельные абзацы, разделы или даже главы. Если чувствуете, что застряли и никак не можете осилить ту или иную часть, смело поступайте с ней так же, как и с отступлениями – вернитесь к ним позже, со свежими силами и свежим взглядом. В конце концов, быть может, следующая глава прольет свет на то, что сейчас кажется непроходимой чащей? Обидно остановиться на полпути и пропустить все самое интересное, правда?

Правило № 3. Обязательно прочитайте последнюю, главу 12. В ней рассказано столько всего о математической бесконечности, что голова у вас пойдет кругом, ведь в школе вас этому наверняка не учили. К тому же, очень мало из того, что написано в главе 12, связано с предыдущими главами. С другой стороны, «очень мало» – не значит «все», а значит, у вас будет отличный стимул перечитать то, что осталось не до конца понятым.

Правило №. Готовьтесь к неожиданностям. Хотя математика – вещь очень серьезная и важная, изучать ее по учебникам, написанным строгим и сухим языком, никакой необходимости нет. На лекциях, которые я читаю в Колледже Харви Мадда[1], мне редко удается обойтись без случайного каламбура, шутки, стихотворения, песенки или фокуса с числами – они отлично разбавляют атмосферу мрачной научной серьезности. Так почему бы не заняться тем же и на страницах этой книги? В одном вам однозначно повезло: не нужно будет слушать, как я пою. Чем не плюс?

Вот и все правила. Хватайте их подмышку и вперед – в удивительный мир математической магии!

Глава номер один Магия чисел

Числовые закономерности

Изучение математики всегда начинается с чисел. Сначала мы учимся выражать количество с помощью букв, цифр или самих предметов. А потом долгие и долгие годы складываем, вычитаем, умножаем, делим и решаем разные арифметические задачи. И за всей этой рутиной часто не видим магию чисел, способную развлечь и удивить любого, кто решится всего лишь заглянуть чуть глубже.

Вот, например, одна хитрость, с которой еще в детстве столкнулся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс[2]. Как-то раз на уроке математики учитель попросил класс сложить между собой всей числа от 1 до 100. Вряд ли он хотел развлечь учеников – скорее, отвлечь: заставить заняться чем-нибудь нудным и требующим полного сосредоточения, а самому спокойно сделать другую работу. Представьте себе его удивление, когда через несколько секунд Гаусс вышел к доске и написал ответ – 5050. Хотите знать, как он это сделал? Он просто представил все эти числа в виде двух рядов: верхний – от 1 до 50, нижний – от 51 до 100, причем в нижнем ряду числа шли в обратном порядке, вот так:

Гаусс заметил, что сумма чисел в каждом из 50 столбцов одинаковая – 101, а значит, для того, чтобы получить искомый результат, нужно всего лишь умножить 101 на 50. Так у него и получилось 5050.

Собственно говоря, благодаря такой вот способности – не быстро считать в уме, но заставлять числа плясать под свою дудку – Гаусс и стал одним из величайших математиков XIX столетия. В этой главе мы как раз и поговорим об интересных числовых закономерностях и, конечно, увидим танец чисел. Одни из этих примеров полезны тем, что развивают способности умственного счета, другие – просто красивы.