Логика. Учебное пособие

Выполнимые или нейтральные формулы при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными.

Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически верным, или правильным. Причем его правильность будет не случайной, а закономерной, т. к. построение рассуждения в соответствии с тождественно-истинной формулой гарантирует его логическую верность независимо от его содержания, т. е. от того, о чем идет в нем речь. Если же результатом формализации будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически противоречивым (и, конечно же, неверным, или неправильным). Причем его неправильность будет не случайной, а закономерной, т. к. построение рассуждения в соответствии с тождественно-ложной формулой обусловливает его ошибочность, или логическую неверность независимо от его содержания. Выполнимая или нейтральная формула также свидетельствует о логической неверности того рассуждения, формализацией которого она является. На первый взгляд это может показаться странным, однако дело здесь заключается в том, что рассуждение, построенное в соответствии с выполнимой формулой может приводить как к истинным, так и к ложным выводам в зависимости от его содержания, т. е. от того, о чем будет идти в нем речь. Если выводы рассуждения, построенного в соответствии с выполнимой формулой окажутся истинными, то их истинность будет случайной, а не закономерной: при другом содержании рассуждения его выводы могут быть ложными. Иначе говоря, выполнимые формулы не гарантируют истинность выводов и, соответственно, логическую правильность тех рассуждений (независимо от их содержания), формализацией которых они являются. Поэтому, рассуждения, формой которых выступают выполнимые формулы, следует признать логически неправильными.

Для того, чтобы определить, к какому виду относится та или иная формула и, соответственно, оценить логическую верность какого-то рассуждения, надо, как правило, составить специальную таблицу истинности для этой формулы.

Рассмотрим следующее рассуждение: Владимир Маяковский родился в 1891 году или в 1893 году; Однако известно, что он родился не в 1891 году; Следовательно он родился в 1893 году. Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания:

1. Владимир Маяковский родился в 1891 году;

2. Владимир Маяковский родился в 1893 году.

Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний (а ⋁ в). Далее к этой дизъюнкции присоединяется отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция ((а ⋁ в) ∧ а). И наконец из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация (((а ⊻ в) ∧ а) → в), которая и является результатом формализации данного рассуждения. Теперь надо составить таблицу истинности для получившейся формулы.

Количество строк в таблице определяется по правилу 2ⁿ, где n – количество переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в нашей формуле только две переменных (а и в), то в таблице должно быть четыре строки (не считая, конечно же, верхнюю строчку, которая является так называемой «шапкой» таблицы). Количество колонок в таблице равно сумме числа переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных (а и в) и четыре логических союза (⊻, ∧, ¬, →), т. е. в таблице должно быть шесть колонок.

Первые две колонки представляют собой все возможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре: обе переменные истинны; первая переменная истинна, а вторая ложна; первая переменная ложна, а вторая истинна; обе переменные ложны).

Третья колонка – это истинностные значения строгой дизъюнкции (а ⊻ в), которые она принимает в зависимости от всех (четырех) наборов истинностных значений переменных.

Четвертая колонка – это истинностные значения отрицания первого простого высказывания (¬а).

Пятая колонка – это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания ((а ⊻ в) ∧ ¬а), и наконец, шестая колонка – это истинностные значения всей формулы или импликации (((а ⊻ в) ∧ ¬а) → в).

Как видим, мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, т. е. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось о том, что отрицание (¬а) также представляет собой двучленное сложное суждение).