Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Школьники часто начинают решение задачи с поиска подходящего примера. Но тут встают три вопроса. Как такой пример подобрать? В каких случаях достаточно привести один пример для полного решения задачи? Что делать в остальных случаях? На этом занятии мы постараемся научиться отвечать на самый простой вопрос, но от этого не менее важный: на второй. Умение отличать решенную задачу от нерешенной – основа математической культуры. Отвечать на первый вопрос помогут другие выпуски нашей серии, а на третий – только годы занятий.

При составлении этого занятия мы вновь постарались учесть интересы разнородного по составу кружка. Вопрос применимости примеров и контрпримеров актуален прежде всего для начинающих, сложность задач для самостоятельного решения на приведение примера разнообразна, а рассуждения про пустое множество и парадоксы про Деда Мороза достаточно сложны. Чисто логические вопросы можно разбавить конструктивами по вкусу.

Во введении обсуждается применимость примеров (в том числе контрпримеров) к доказательству и опровержению частных и общих высказываний. Истинность таких высказываний предлагается определить и в большинстве задач. Но мы сознательно нарушили чистоту жанра, включив в занятие задачи 3.6 и 3.7 с вопросом «можно или нельзя?», в которых фактически требуется определить, что верно: частное высказывание или его отрицание.

Надеемся, что пяти– и шестиклассникам будет интересно разыграть сценку с Танечкой и Ванечкой в начале занятия. Текст четырем «артистам» стоит выдать заранее, но учить его наизусть незачем, пусть подглядывают в шпаргалки. Таблицу рекомендуем изобразить на доске, можно с сокращениями.

Более опытных кружковцев могут заинтересовать два сюжета. Первый связан с гипотезами Гольдбаха (задача 3.2). Это уникальный случай, когда формулировка совсем недавнего выдающегося математического достижения понятна школьнику. Участники кружка могут совместными усилиями проверить гипотезу Гольдбаха для чисел из первой сотни (если каждому поручить свой отрезок числового ряда), осознать необходимость доказательства, а затем узнать историю проблемы и вместе порадоваться успеху Хельфготта.

Второй тонкий вопрос – это истинность любого общего высказывания об элементах пустого множества (задачи 3.3–3.5 и 3.12). В школьной программе он игнорируется из-за несоответствия формального и житейского подхода к нему. Это приводит к неоднозначному толкованию условия некоторых задач (в частности, с параметром). Несложная задача 3.11 служит для повторения материала предыдущего занятия, а ее сюжет связан с гораздо более сложной следующей задачей-парадоксом 3.12.

Задача 3.13 позволяет эффектно завершить занятие. Она не имеет отношения к его теме, содержательно в ней развивается наиболее сложная идея первого занятия, а сюжетно – линия Деда Мороза. Можно в начале занятия не выдавать ее вместе с другими задачами, а дать «на сладкое» двум кружковцам, решившим другие задачи быстрее остальных. В задаче 3.12 обсуждается существование Деда Мороза. После этого самое время выпустить «на сцену» двух «артистов», которые неопровержимо докажут существование Деда Мороза!

Однажды Танечка и Ванечка услышали про Африку. И подумали, что в Африке водятся большие звери. Они дождались, когда мама с папой уснули, и убежали в Африку. Там Танечка успела увидеть только мартышку, а Ванечка бегемота. Тут как раз проснулись родители. Они обо всем догадались и забрали детей из Африки домой. На обратном пути дети заспорили.

– Правда, африканские звери большие? Я же сам видел! – спросил у папы Ваня.

– Нет, африканские звери маленькие, – не соглашалась Таня. – Я тоже сама видела. Вот скажи, папа, кто из нас прав?

– А это смотря как понимать вопрос, – начал папа. – Можно так: «Верно ли, что НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие?»

– Да, верно! – торжествующе посмотрел на сестру Ваня. – Например, бегемот, которого я видел.

– Молодец, – похвалил папа. – Для ответа «Да» на вопрос про некоторых достаточно привести один пример.

– А если бы я не увидел бегемота? – забеспокоился Ваня. – Тогда из-за Танькиной мартышки ответ был бы «Нет, неправда»?

– Ну что ты! – успокоил его папа. – Размеры животных не зависят от того, видишь ли ты их. Даже если встретишь тысячу маленьких мартышек, отвечать «Нет» еще рано. Понимаешь почему?

– Понимаю, – сказал Ваня. – Бегемот или другой пример мог просто хорошо спрятаться!

– Поэтому ответ «Нет» на вопрос про некоторых объяснить бывает непросто, – вздохнула мама. – Для этого требуется настоящее доказательство.

А папа продолжил:

– Но ваш вопрос можно понять и совсем по-другому: «Верно ли, что ВСЕ африканские звери большие?».

– Откуда мы знаем? Мы же не успели увидеть всех зверей, – начал было Ваня, но Танечка его перебила:

– А вот и знаем! Не все. Ведь я же видела маленькую мартышку!

– Хорошо, что ты ее увидела, – похвалил папа. – Твоя мартышка – прекрасный…

– Пример! – перебила Танечка.