Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Легко понять, почему в центральные пазы попадает гораздо больше шариков, чем в пазы на левом и правом краях. Чтобы попасть в середину, шарику нужно отскочить три раза влево и три раза вправо. Он может сделать это несколькими способами — например, один раз влево, затем два раза вправо, затем два раза влево и еще один раз вправо (ЛППЛЛП). Также возможен вариант (ЛЛПППЛ) и так далее. Всего существует двадцать таких последовательностей. Но попасть в крайний левый или крайний правый паз может только шарик, отскакивающий каждый раз в одну и ту же сторону, шесть раз влево или шесть раз вправо, и такая траектория существует всего в одном варианте. Поэтому следует ожидать, что после падения большого количества шариков в центральном пазу окажется примерно в 20 раз больше шариков, чем в крайнем левом или крайнем правом.

Илл. 6. Доска Гальтона

(Рис. Веры Мерё)

Труднее увидеть, почему биномиальная «кривая», образованная шариками, должна приближаться к распределению Гаусса. Почему не к распределению Коши или к какому-нибудь другому распределению, о котором я еще не упоминал? Причина кроется в сути центральной предельной теоремы[45]. В отличие от пуль Фиби, которые подчиняются распределению Коши, шарики на доске Гальтона послушно следуют распределению Гаусса без значительных отклонений. Если построить по-настоящему большую доску, скажем с сотней рядов и столбцов, и запускать на нее каждую секунду по тысяче шариков, то можно ожидать, что до попадания шарика в паз номер 1 или номер 100 пройдут миллиарды миллиардов лет. Фиби гораздо раньше выпустила бы пулю, которая попала бы в точку на аналогичном расстоянии от середины стены.

Особенно изящна биологическая интерпретация центральной предельной теоремы[46]. Предположим, что некоторая биологическая характеристика (например, рост) определяется несколькими мелкими компонентами, каждый из которых может принимать одно из нескольких значений, и мы можем моделировать эту характеристику в виде суммы индивидуальных вкладов таких компонентов. В этом случае центральная предельная теорема утверждает, что распределение нашей характеристики по крупной популяции будет соответствовать распределению Гаусса. Именно это утверждение и иллюстрирует доска Гальтона. Представим себе, что существуют шестьдесят генов, влияющих на рост, и каждый из них может быть двух видов — высоким или низким. Чем больше у особи высоких генов, тем больше будет ее рост. Если допустить, что низкий ген соответствует отскоку влево, а высокий — отскоку вправо, то у максимально высокой особи все шестьдесят генов должны быть высокими, что эквивалентно в математическом выражении шестидесяти последовательным отскокам шарика вправо. Аналогичным образом максимально низкая особь должна получить все шестьдесят генов низкими, что эквивалентно шестидесяти последовательным отскокам шарика влево. У большинства представителей популяции будет смесь высоких и низких генов, и соотношение их количеств будет таким же, как соотношение количеств шариков в пазах доски Гальтона.

Разумеется, на рост могут влиять не только генетические компоненты, но и факторы окружающей среды. На рост нашего тела влияют несколько генов, и все они сравнительно слабые. Кроме того, действуют внешние факторы — например, питание в детстве. В упрощенной модели дело обстоит похожим образом и с уровнем интеллектуального развития, хотя для него выявлено еще меньше генетических факторов, а факторы воздействия окружающей среды тоже очень разнообразны — от уровня питания ребенка до того, как ему читают и как с ним разговаривают. Никому не достаются только те факторы, что вносят свой вклад в более высокое интеллектуальное развитие, но те, кому их достается больше, предположительно получают более высокий уровень интеллекта.

Этот результат тоже в точности соответствует тому, что моделирует доска Гальтона. Разумеется, биологические явления гораздо сложнее, чем эта простая машина. События, влияющие на то, в каком месте в конце концов окажется шарик, — отскоки влево и отскоки вправо — независимы друг от друга. Шарик отскакивает на некотором уровне влево или вправо независимо от того, влево или вправо он отскочил на предыдущем. Эта независимость и позволяет машине приблизиться к распределению Гаусса.

В биологических системах такая независимость встречается редко. Каждый из факторов, влияющих на определенную характеристику, будь то ген, воздействие среды или что-то еще, обычно не бывает независимым от других факторов. Более того, разные факторы обычно влияют на получающуюся характеристику в разной степени. Поэтому на самом деле доска Гальтона моделирует мир живых существ лишь в очень ограниченных пределах.

Стабильность как следствие множественности компонентов