Логика

Отрицание — логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причем, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами "не", "неверно, что". Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания "10 — четное число" является высказывание "10 не есть четное число" (или: "Неверно, что 10 есть четное число").

Будем обозначать высказывания буквами А, В, С…, отрицание высказывания — символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание Л истинно, его отрицание А ложно, и если А ложно, его отрицание, ~А, истинно. Например, так как высказывание "1 есть целое положительное число" истинно, его отрицание "1 не является целым положительным числом" ложно, а так как "1 есть простое число" ложно, его отрицание "1 не есть простое число" истинно.

Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности, в которой "и" означает "истинно" и "л" — "ложно".

В результате соединения двух высказываний при помощи слова "и", мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания "Сегодня жарко" и "Вчера было холодно" соединить связкой "и" получится конъюнкция "Сегодня жарко и вчера было холодно".

Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Высказывание А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании В. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.

Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена ниже.

Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

1) каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;

2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.

Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределенные с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, "Через пять лет в это время будет идти дождь с громом" и т. п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит от "связи по смыслу" соединяемых высказываний.

В обычном языке два высказывания соединяются союзом "и", когда они связаны между собой по содержанию, или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию "Он шел в пальто и я шел в университет" как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания "2 — простое число" и "Москва — большой город" истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию "2 — простое число и Москва — большой город", поскольку составляющие ее высказывания не связаны между собою по смыслу.

Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия "связь высказываний по смыслу", логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более ясным.

Соединяя два высказывания с помощью слова "или", мы получаем дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются членами дизъюнкции.

Слово "или" в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает "одно или другое или оба", а иногда "одно или другое, но не оба вместе". Высказывание "В этом сезоне я хочу пойти на "Пиковую даму" или на "Аиду"" допускает возможность двукратного посещения оперы. В высказывании же "Он учится в Московском или в Саратовском университете" подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Первый смысл "или" называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает только, что по крайней мере одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Взятая во втором, исключающем, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из них истинно, а второе — ложно.