Квантовая механика и интегралы по траекториям

Если детектор очень чувствителен (например, счётчик Гейгера), то мы обнаружим, что достигающий точки 𝑥 ток не непрерывен, а является как бы дождём из отдельных частиц. При малой интенсивности источника 𝑆 детектор зарегистрирует импульсы, свидетельствующие о попадании отдельных частиц, причём эти импульсы будут разделены промежутками времени, в течение которых в детектор ничего не попадает. Именно поэтому мы и считаем электроны частицами. Если бы мы расположили детекторы сразу по всему экрану, то в случае очень слабого источника 𝑆 сначала сработал бы только один детектор, потом через небольшой промежуток времени появление электрона зарегистрировал бы другой детектор и т.д. При этом ни один детектор не может сработать «наполовину»: либо электрон попадает в него целиком, либо вообще ничего не происходит. Никогда не срабатывали бы и два детектора одновременно (за исключением случаев совпадения, когда за время, меньшее разрешающей способности детекторов, источник испускает два электрона — событие, вероятность которого можно уменьшить дальнейшим ослаблением интенсивности источника). Другими словами, детектор на фиг. 1.1 регистрирует некоторый одиночный корпускулярный объект, пролетающий от источника 𝑆 до точки 𝑥 через отверстие в экране 𝐵.

Этот опыт никогда не был поставлен именно таким образом. Некоторые эксперименты, непосредственно иллюстрирующие наши дальнейшие выводы, действительно производились, но они, как правило, оказываются значительно более сложными. Из соображений наглядности мы предпочитаем отбирать эксперименты, наиболее простые в принципиальном отношении, и не обращаем внимания на реальные трудности их выполнения.

Между прочим, в подобном опыте вместо электронов можно использовать свет; это ничего бы не изменило. Источником 𝑆 мог быть источник монохроматического света, а чувствительным детектором — фотоэлемент (или, ещё лучше, фотоумножитель), который регистрировал бы импульсы, возникающие в нем при попадании одного фотона.

Величина, измеряемая нами при различных положениях детектора 𝑥,— это число импульсов за 1 сек. Другими словами, мы будем экспериментально определять (как функцию 𝑥) вероятность 𝑃 того, что вылетевший из источника 𝑆 электрон попадёт в точку 𝑥.

Фиг. 1.2. Результаты эксперимента.

Вероятность попадания электронов в точку я представлена как функция положения детектора 𝑥. Кривая a — результат эксперимента, изображённого на фиг. 1.1. Случаю, когда открыто только отверстие 1 и электроны могут пролетать только через это отверстие, соответствует кривая b; открытому отверстию 2 соответствует кривая c. Если предполагать, что каждый электрон проходит только сквозь одно отверстие из двух, то в случае, когда открыты оба отверстия, мы должны были бы получить кривую d=b+с. Это существенно отличается от кривой a, которую мы получаем в действительности.

График этой вероятности (как функции от 𝑥) представляет собой сложную кривую, которую в общих чертах передаёт фиг. 1.2, а. Эта кривая имеет несколько максимумов и минимумов, причём вблизи центра экрана существуют участки, куда электроны почти никогда не попадают. Объяснить, почему эта кривая имеет такой вид, и является задачей физики.

Мы могли бы сначала предположить (поскольку электроны ведут себя как частицы), что:

а) каждый электрон, летящий из источника 𝑆 в точку 𝑥, должен проходить либо через отверстие 1, либо через отверстие 2; исходя из этого предположения, мы ожидали бы, что

б) вероятность 𝑃 попадания в точку 𝑥 является суммой двух слагаемых: вероятности 𝑃₁ попасть в эту точку через отверстие 1 и вероятности 𝑃₂ попасть в эту же точку через отверстие 2.

Так ли это, можно выяснить непосредственно на опыте. Каждая из слагаемых вероятностей легко определяется: просто закроем отверстие 2 и подсчитаем число попаданий в точку 𝑥, когда открыто только лишь отверстие 1. Это даст нам вероятность 𝑃₁ попадания в точку 𝑥 электронов, пролетевших через отверстие 1. Результат изображается кривой b на фиг. 1.2. Аналогично, закрывая отверстие 1, найдём вероятность 𝑃₂ попадания в точку 𝑥 через отверстие 2 (кривая с на фиг. 1.2).

Сумма этих вероятностей (кривая d), очевидно, не совпадает с кривой a. Следовательно, эксперимент ясно говорит нам о том, что 𝑃≠𝑃₁+𝑃₂, или что утверждение б) ошибочно.

Фиг. 1.3. Аналогичный эксперимент с интерференцией волн.

Сложная кривая a на фиг. 1.2. совпадает с распределением интенсивности 𝐼(𝑥) волн, которые, выйдя из источника 𝑆 и пройдя через оба отверстия, достигли бы точки 𝑥. В некоторых точках 𝑥 часть волн в результате интерференции взаимопогашается (например, гребень волны, вышедшей из отверстия 1, приходит в точку 𝑥 в тот же самый момент, что и впадина волны из отверстия 2 ); в других же точках интерференция усиливает волны. В целом на кривой интенсивности 𝐼(𝑥) возникают сложные максимумы и минимумы.