Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

§ 35. Пертурбативные эффекты и эффекты, обусловленные спонтанным нарушением киральной симметрии, в кварковом и глюонном пропагаторах

В гл. II вычислены пертурбативные (теоретиковозмущенческие) вклады в глюонный и кварковый пропагаторы. Они выражались через массы частиц, фигурирующие в лагранжиане КХД, которые обычно называют пертурбативными, механическими или (для кварков) "токовыми" массами. Однако, как известно, заметные успехи были достигнуты в так называемых конституентных (составных) моделях, в которых "конституентные" массы кварков u, d и s полагают равными ~400 МэВ, а массу глюона - равной ~800 МэВ. В этом и следующих параграфах будет показано, что непертурбативные вклады в кварковый S и глюонный D пропагаторы имитируют массы частиц. Будет показано, что, хотя эти массы нельзя отождествлять с конституентными массами, тем не менее данный эффект фактически ответствен за массы адронов, подобных ρ-мезону.

Начнем с рассмотрения кваркового пропагатора

S

_ij

^ξ

(p)=

∫

𝑑

^D

x

e

^ip⋅x

⟨Tq

ⁱ

(x)

q

^j

(0)⟩

_vac

,

(35.1)

который мы вычислим при больших значениях импульса p. Запишем для него операторное разложение, пренебрегая членами, которые при усреднении по вакуумным состояниям обращаются в нуль. Такое разложение имеет вид

Tq

ⁱ

(x)

q

^j

(0)

=

δ

_ij

⎧

⎨

⎩

C

₀

(x)⋅1-C

₁

(x)

 

∑

^l

:

q

^l

(0)q

^l

(x):+…

⎫

⎬

⎭

;

(35.2)

в § 7 и 9 рассмотрен только коэффициент C₀(x). В нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия α_g получаем приближенное равенство (α и β- дираковские индексы)

:

q

_β

(0)q

_α

(x):

 

≈

^x→0

1

4

⎧

⎨

⎩

δ

_αβ

-

im_qx_μ

D

⎫

⎬

⎭

:

q

(0)q(0): .

Если через S_P и S_NP обозначить соответственно пертурбативный и непертурбативный вклады в кварковый пропагатор, то получим (рис. 28)

S

=

S

_P

+S

_NP

,

S

_(0)ij

^NP

(p)

=

-(2π)

^D

δ_ij⟨qq⟩_vac

4n_c

⎧

⎨

⎩

1-

m_D

D

γ

^μ

∂

∂p^μ

⎫

⎬

⎭

δ(p), n

_c

=3.

(35.3)

Последнее выражение при p≠0 тождественно обращается в нуль. Однако будет показано, что члены типа (35.3) играют важную роль при изучении масс наблюдаемых частиц (ρ, φ, …). Поправки второго порядка и непертурбативной части кваркового пропагатора S_NP проще всего вычислить, записав их в виде

S

_(2)ij

^NP

=

∑

1

p-m_q

g²

∫

𝑑

^D

k̂ iγ

_μ

t

_a

^ik

S

^kk'

(p+k)iγ

_ν

t

_b

^k'j

δ

_ab

×

-g^μν+ξk^μk^ν/k²

k²

⋅

i

p-m_p

,

и заменив в правой части S^kk' на величину S^(0)kk_NP . При этом получаем

S

_NP

=

S

₍₀₎

^NP

+S

₍₂₎

^NP

+…,

S

_(2)ij

ξNP

(p)

=

-iδ

_ij

α

_g

πC_F⟨qq⟩_vac

3p⁴

⎧

⎨

⎩

D-ξ-

2(D-2)

D

(1-ξ)

m_qp

p²

⎫

⎬

⎭

+

O

⎧

⎪

⎩

m_q

p⁶

⎫

⎪

⎭

+O

⎧

⎪

⎩

m

₄

^q

p

_p

 

⎫

⎪

⎭

.

(35.4)

Отметим, что этот результат зависит от используемой калибровки, поэтому выражение

M

_ξ

(p)

=

-πα_gC_F⟨qq⟩_vac

3p²

(4-ξ)

нельзя интерпретировать как физическую массу частицы.

Рис. 28. Глюонный и кварковый пропагаторы; а — вклад, описываемый теорией возмущений; б — ведущие непертурбативные поправки; в - ведущие связанные непертурбативные поправки.

Аналогичные вычисления можно выполнить и для глюонного пропагатора (рис. 28):

D

_μν

^ξab

(k)

=

∫

𝑑

⁴

x

e

^ik⋅x

⟨TB

_μ

^a

(x)B

_ν

^b

(0)⟩

_vac

,

TB

_μ

^a

(x)B

_ν

^b

(0)

=

δ

_ab

⎧

⎨

⎩

C

_μν

⁰

(x)⋅1+C

_μν

¹

 

∑

^c

:G

αβ

^c

(0)G

 

^αβc

(0):+…

⎫

⎬

⎭

,

(35.5)

и получить результат

D

=

D

_P

+D

_NP

D

_(0)μν

^NPab

(k)

=

(2π)

^D

δ

_ab

⟨G²⟩_vac

4(n

₂

^c

-1)D(D-1)(D+2)

×

{

(D+1)g

^μν

∂

²

-2∂

^μ

∂

^ν

}

δ(k).

(35.6)

Следует отметить, что непертурбативный вклад в глюонный пропагатор D⁽⁰⁾_NP оказывается поперечным. Этот член дает также вклад в поправку второго порядка S⁽²⁾_NP к кварковому пропагатору S; эта добавка к выражению (35.4) имеет вид

S

₍₂₎

^G²NP

(p)

=

2C_F

3(n

₂

^c

-1)

⋅

π⟨α_sG²⟩_vac

p⁴

⋅

i

p

.

(35.7)

Можно оценить также вклады вакуумных средних ⟨qq⟩, ⟨G²⟩ в глюонный пропагатор D. Эти вклады приводят к появлению добавки к массе глюонов, которая, к сожалению, зависит от калибровки. В действительности, как будет показано в § 36, массы физических частиц не связаны с членом типа M_ξ или аналогичным членом для глюонов; такие члены дают вклады только в следующем порядке теории возмущений. Основной вклад дают выражения (35.3) и (35.6). Подробное обсуждение этого вопроса в связи с вакуумным средним ⟨qq⟩ можно найти в работе [216].

§ 36. Массы адронов

Вместо обсуждения общего метода исследования проблемы масс адронов^50а) мы рассмотрим один типичный пример, а именно вычисление массы φ-мезона. Рассмотрим с этой целью двухточечную функцию

^50а) Метод, которому мы следуем, был предложен в работах Шифмана, Вайнштейна и Захарова [229, 230]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах тех же авторов, а также в статьях [223] и цитируемой там литературе. Недавно этот метод был распространен на барионы (см. [171] и Chung J. et al., Heidelberg, preprint, 1981). Дальнейшие сведения о методе правил сумм, подобном описываемому здесь, см. в превосходном обзоре [209].

Π

_μν

^φ

(q)

=

i

∫

𝑑

⁴

x

e

^iq⋅x

⟨Tφ

^μ

(x)φ

^ν

(0)⟩

_vac

≡

(-g

^μν

q

²

+q

^μ

q

^ν

)Π

_φ

(q

²

),

(36.1)

где φ^μ - оператор с квантовыми числами, аналогичными квантовым числам φ-мезона; он имеет вид

φ

^μ

(x)

=

C

_φ

s

(x)γ

^μ

s(x).