Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

выделяя член, пропорциональный произведению q^μq^ν , и вводя фейнмановские параметры, находим

Τ'

NS

L

=

g²

16π²

C

_F

8

x

∫

¹

 

₀

d

α⋅α

∫

¹

 

₀

d

β

(1-u₂)u₁

[1-u₂-(1-(u₁+u₂)/x]²

,

где u₁=αβ и u₂=1-α . Разлагая в ряд по степеням 1/x и интегрируя, получаем

Τ'

_NS

^L

=

g²

16π²

4C

_F

_∞

∑

ⁿ⁼¹

1

n+1

⎛

⎜

⎝

1

x

⎞ⁿ

⎟

⎠

Перекрестные диаграммы удваивают значения коэффициентов при четных степенях 1/x и приводят к сокращению членов разложения, содержащих 1/x в нечетной степени. Таким образом, окончательный результат имеет вид

Τ

_NS

^L

=

2g²

16π²

4C

_F

_∞

∑

^{n четн}

4

n+1

⎛

⎜

⎝

1

x

⎞ⁿ

⎟

⎠

(21.7)

Записывая аналог выражения (19.18), находим

B

_n(1)NS

^L

=

4

n+1

C

_F

,

n — четное число

μ

_NS

^L

(n,Q²)

=

δ

_NS

^L

α_s(Q²)

π

⋅

C_F

n+1

μ

_NS

²

(n,Q²) .

(21.8)

Детальное изложение вычислений других коэффициентов B можно найти в статье [27]. Здесь мы лишь приведем результаты для процесса электророждения на протонной мишени:

C

₍₁₎

^NS

(n)

=

C

₍₁₎

^F

(n)

=

C

_F

⎧

⎨

⎩

2[S

₁

(n)]²+3S

₁

-2S

₂

(n)-

2S₁(n)

n(n+1)

=

+

3

n

+

4

n+1

+

2

n²

-9

⎫

⎬

⎭

,

(21.9 а)

C

₍₁₎

^V

=

4Τ

_F

n

_ƒ

⎧

⎨

⎩

-

1

n

+

1

n²

+

6

n+1

-

6

n+2

-S

₁

(1)

n²+n+2

n(n+1)(n+2)

⎫

⎬

⎭

.

(21.9 б)

Поскольку мы объяснили общие методы, можно записать в явном виде уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений. Для несинглетного случая имеем

μ

_NS

(n,Q²)

=

⎡

⎢

⎢

⎣

α_s(Q

₂

⁰ )

α_s(Q

₂

  )

⎤^d(n)

⎥

⎥

⎦

×

1+C

₍₁₎

^NS (n)α_s(Q

₂

  )/4π

1+C

₍₁₎

^NS (n)α_s(Q

₂

⁰ )/4π

⎧

⎨

⎩

1+β₁α_s(Q

₂

  )/4πβ₀

1+β₁α_s(Q

₂

⁰ )/4πβ₀

⎫^p(n)

⎬

⎭

×

μ

_NS

(n,Q

₂

⁰

);

p(n)

=

½

⎧

⎨

⎩

γ

₍₁₎

^NS

(n)/β

₁

-γ

₍₀₎

^NS

(n)/β

₀

⎫

⎬

⎭

.

(21.10)

Для синглетного случая возникают некоторые дополнительные трудности. Нужно начать с определения матрицы C⁽¹⁾(n), имеющей матричные элементы C⁽¹⁾₁₂(n)=C⁽¹⁾_V(n) , C⁽¹⁾₁₁(n)=C⁽¹⁾_F(n) ,

C

₍₁₎

²¹

(n)=

D₂₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) ,

C

₍₁₎

²²

(n)=C

₍₁₎

¹¹

(n)+

D₂₂(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

C

₍₁₎

¹²

(n) .

Если принять такое определение, то матрицы C⁽¹⁾ и D коммутируют. Введем обозначения α для α_s(Q²) и α₀ для α_s(Q²₀) . Тогда уравнения для моментов в синглетиом случае принимают вид [149]

^⃗

μ(n,Q²)

=

C

(n,α)

C

^-1

(n,α

₀

)

M

(n;α,α

₀

)

^⃗

μ(n,Q²

₀

) ,

(21.11)

где введены обозначения C=1+C⁽¹⁾α/4π; ,

R

(n,α,α

₀

)=1-

α-α₀

4π

⋅

β

 

¹

2β

₂

⁰

γ

⁽⁰⁾

(n)+

Δ

(n,αα

₀

) ,

Δ

(n,α,α

₀

)

=

-3

32

⋅

α₀

4π

∫

^r

 

₀

d

r' e

^-3β₀r'/16

[

M

⁰

(n,r')]

^-1

γ

⁽¹⁾

(n)

M

⁰

(n,r') ,

M

(n,α,α

₀

)

=

⎛

⎜

⎝

α₀

α

⎞

⎟

⎠

^D(n)

 

 

R

(n,α,α

₀

) ,

r

=

16

3β₀

log

α₀

α

,

M

(n,r')

=

e

^{-3r'γ(0)(n)/32}

.

Уравнение для моментов в синглетном случае можно переписать в другом виде, более удобном в некоторых приложениях. Пусть матрица S_n диагонализует матрицу D_n :

S

^-1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D^̂

(n)

≡

⎛

⎜

⎝

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎠

, d

₊

(n) > d

_-

(n) .

Ее можно выбрать так, чтобы det S=S₁₁=1 ; тогда матрица S имеет вид

S

(n)=

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

1

D₁₂(n)

d_-(n)-d₊(n)

d₊(n)-D₁₁(n)

D₁₂(n)

d_-(n)-D₁₁(n)

d_-(n)-d₊(n)

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(21.12)

Определим величину γ как результат преобразования матрицы γ⁽¹⁾ под действием матрицы S :

S

^-1

(n)γ

⁽¹⁾

(n)

S

(n)

=

γ

(n) .

(21.13)

Тогда получим

α

^D̂(n)

⎧

⎨

⎩

1+

α

4π

Γ

(n)

⎫

⎬

⎭

S

^-1

(n)

C

^-1

(n,α)

^⃗

μ(n,Q²)

=

α

_D̂(n)

⁰

⎧

⎨

⎩

1+

α₀

4π

Γ

(n)

⎫

⎬

⎭

S

^-1

(n)

C

^-1

(n,α

₀

)

^⃗

μ(n,Q

₂

⁰

)

≡

^⃗

b(n) (не зависит от Q²).

20.14

Здесь использовано обозначение^36а)

^36а Уравнения несколько изменяются для двух значений n_± , для которых выполняся соотношение d_-(n_±)-d₊(n_±)+1=0. При этом поправки следующего порядка теории возмущений равны не O(α_s), а O(α_s log α_s).

Γ

(n)

=

-1

2β₀

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

γ

₁₁

(n)+2β

₁

d

₊

(n)

γ₁₂(n)

d₊(n)-d_-(n)+1

γ₂₁(n)

d_-(n)-d₊(n)+1

γ

₂₂

(n)+2β

₁

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

.

Выражвння (21.10) и (21.11) применимы для моментов структурных функций ƒ₂ и ƒ₃ . Используя соотношения (21.8), продольную структурную функцию ƒ_L можно выразить через функцию ƒ₂ :

ƒ

_L

=

ƒ

_NS

^L

+

ƒ

_F

^L

+

ƒ

_V

^L

,

(21.15 а)

ƒ

_NS

^L

(x,Q²)

=

4α_s

3π

∫

¹

 

_x

dy

x²

y³

ƒ

_NS

²

(y,Q²) ,

(21.15 б)

ƒ

_F

^L

(x,Q²)

=

4α_s

3π

∫

¹

 

_x

dy

x²

y³

ƒ

_F

²

(y,Q²) ,

(21.15 в)

ƒ

_V

^L

(x,Q²)

=

4α_s

3π

δ

_L

∫

¹

 

_x

dy

x²

y³

⎛

⎜

⎝

1-

x

y

⎞

⎟

⎠

ƒ

_V

²

(y,Q²) ,

(21.15 г)

где для процесса электророждения на протонной мишени

δ

_L

=

3nƒ

2

.

(21.16)

§ 22. Метод Алтарелли - Паризи

Метод операторного разложения в применении к анализу процессов глубоконеупругого рассеяния является достаточно простым и вполне строгим. Однако он, по-видимому, не опирается на физическую интуицию. В частности, не совсем ясна его связь с партонной моделью. Это является одной из причин, обусловивших успех метода Алтарелли - Паризи ([12], см. также [98]), в рамках которого такая связь сохраняется на каждом этапе.

Прежде чем обсуждать партонную интерпретацию, проанализируем еще раз полученные уравнения. Для определенности будем рассматривать несинглетную часть структурной функции ƒ₂(x,Q²) , а именно сосредоточим внимание на вкладе кварка заданного аромата ƒ в выражения для ƒ^NS₂ и функции q_ƒ . В приближении свободных партонов (см. (17.11)) функция распределения q_ƒ не зависит от квадрата 4-импульса Q², но при учете взаимодействия она такую зависимость приобретает. Если через μ² обозначить некоторое фиксированное характерное значение квадрата 4-импульса и переменную t определить формулой t=½ log(Q²/μ²), то выражение (17.11) можно обобщить следующим образом:

ƒ

_NS

²

(x,Q²)=

∑

δ

_NS

^ƒ

xq

_ƒ

(x,t) ,

(22.1)

где коэффициенты δ_ƒ известны.