Так как через атмосферу Венеры не видна поверхность планеты, то приближённо считается, что оптическая толщина атмосферы бесконечно велика (τ₀). Для определения других величин, характеризующих оптические свойства атмосферы (в частности, индикатрисы рассеяния 𝑥(γ) и параметра λ), следует использовать наблюдаемое распределение яркости по диску планеты при разных углах фазы. Для Венеры могут быть получены особенно обширные наблюдательные данные, так как в этом случае угол фазы (т.е. угол при планете между направлениями на Солнце и Землю) принимает все возможные значения — от 0° до 180° Заключения об оптических свойствах атмосферы Венеры можно сделать и на основании кривой изменения блеска планеты с углом фазы, чем мы сейчас и займёмся.
Рис. 26
Найдём теоретическую зависимость между звёздной величиной планеты 𝑚 и углом фазы α. Обозначим через μ₀ косинус угла падения солнечных лучей в данном месте планеты, через μ — косинус угла отражения и через φ — разность азимутов падающего и отражённого лучей. Введём планетоцентрические координаты ω и ψ (рис. 26). Очевидно, величины μ₀, μ, φ связаны с ω, ψ и α формулами
μ₀
=
cos
ψ
cos
(α-ω)
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
μ
=
cos
ψ
cos
ω
,
cos
α
=
μ₀
μ
-
√
(1-μ²)(1-μ₀²)
cos
φ
.
(20.1)
Пусть 𝑛𝐹 — освещённость площадки, перпендикулярной к лучам Солнца на верхней границе атмосферы планеты и ρ(μ,μ₀,φ) — коэффициент яркости атмосферы. Тогда интенсивность излучения, диффузно отражённого атмосферой, будет равна 𝐹ρ(μ,μ₀,φ)μ₀, а количество энергии, идущее от элемента площади 𝑑σ в единице телесного угла будет 𝐹ρ(μ,μ₀,φ)μμ₀ 𝑑σ. Так как 𝑑σ=𝑅²cos ψ 𝑑ψ 𝑑ω где 𝑅 — радиус планеты, то это количество энергии может быть записано в виде
𝐹𝑅²
ρ(μ,μ₀,φ)
cos(α-ω)
cos
ω
cos³ψ
𝑑ψ
𝑑ω
.
Чтобы получить полное количество энергии, идущее от Венеры в направлении Земли в единице телесного угла, надо проинтегрировать последнее выражение по ψ в пределах от -π/2 до +π/2 и по ω в пределах от α -π/2 до +π/2, т.е. от терминатора до края диска. Обозначая через Δ расстояние от Венеры до Земли, для освещённости Земли от Венеры находим
𝐸
𝑉
=
2𝐹
𝑅²
Δ²
π/2
∫
α-π/2
cos(α-ω)
cos
ω
𝑑ω
×
×
π/2
∫
0
ρ(μ,μ₀,φ)
cos³ψ
𝑑ψ
.
(20.2)
Очевидно, что освещённость Земли от Солнца равна 𝐸𝑇=π𝐹(𝑟₁/𝑟₂)², где 𝑟₁ — расстояние от Солнца до Венеры и 𝑟₁ — расстояние от Солнца до Земли, а 𝐸𝑉/𝐸𝑇=2,512𝑚☉-𝑚, где 𝑚☉ — звёздная величина Солнца. Поэтому получаем
2,512
𝑚☉-𝑚
=
2
π
⎛
⎜
⎝
𝑟₁𝑅
𝑟₁Δ
⎞²
⎟
⎠
π/2
∫
α-π/2
cos(α-ω)
cos
ω
𝑑ω
=
=
π/2
∫
0
ρ(μ,μ₀,φ)
cos³ψ
𝑑ψ
.
(20.3)
Соотношение (20.3) даёт искомую теоретическую зависимость 𝑚 от α, т.е. позволяет построить теоретическую кривую блеска планеты. В соотношение (20.3) надо подставить выражение для ρ(μ,μ₀,φ) и воспользоваться формулами (20.1). Так как коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) зависит от величин 𝑥(γ) и λ, то, сравнивая между собой теоретическую и наблюдённую кривые блеска, можно определить указанные величины. При этом следует также принять во внимание соотношение
1
2
π
∫
0
𝑥(γ)
sin
γ
𝑑γ
=
1,
(20.4)
выражающее собой условие нормировки индикатрисы рассеяния.
При определении теоретической кривой блеска удобно в выражении для ρ(μ,μ₀,φ) выделить член, учитывающий рассеяние первого порядка. В таком случае имеем
ρ(μ,μ₀,φ)
=
λ
4
𝑥(γ)
μ+μ₀
+
Δ
ρ(μ,μ₀,φ)
,
(20.5)
где γ=π-α и Δρ — член, учитывающий рассеяния высших порядков. Так как точное выражение для величины Δρ при произвольной индикатрисе рассеяния очень сложное, то мы определим эту величину приближённо, сохраняя в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Лежандра только два первых члена. Иными словами, величину Δρ найдём не для действительной индикатрисы рассеяния 𝑥(γ), а для индикатрисы рассеяния
𝑥(γ)
=
1
+
𝑥₁
cos
γ
,
(20.6)
где
𝑥₁
=
3
2
π
∫
0
𝑥(γ)
cos
γ
sin
γ
𝑑γ
.
(20.7)
Как было показано ранее, коэффициент яркости ρ(μ,μ₀,φ) при индикатрисе рассеяния вида (20.6) даётся формулами (19.18) — (19.20). Пользуясь ими, находим
Δ
ρ
=
λ
4
φ₀⁰(μ)φ₀⁰(μ₀)-𝑥₁φ₁⁰(μ)φ₁⁰(μ₀)-1
μ+μ₀
+
+
λ𝑥₁
4
φ₁¹(μ)φ₁¹(μ₀)cos φ+cos α
μ+μ₀
,
(20.8)
где вспомогательные функции φ₀⁰(μ), φ₁⁰(μ) и φ₁¹(μ) определяются уравнениями (19.21) — (19.23). Как уже говорилось, эти функции табулированы. Заметим также, что при малой роли истинного поглощения в атмосфере (т.е. при значениях λ, близких к 1), из уравнений (19.21) и (19.22) могут быть получены следующие асимптотические формулы:
φ₀⁰(μ)
=
φ(μ)
⎛
⎜
⎝
1-3
⎧
⎪
⎩
1-λ
3-𝑥₁
⎫½
⎪
⎭
μ
⎞
⎟
⎠
,
(20.9)
φ₁⁰(μ)
=
φ(μ)
μ
⎧
⎪
⎩
3(1-λ)
3-𝑥₁
⎫½
⎪
⎭
,
(20.10)
где φ(μ) — функция, определяемая уравнением (19.16) при λ=1. Формулами (20.9) и (20.10) можно воспользоваться в случае Венеры, так как альбедо этой планеты весьма велико (порядка 0,7), а следовательно, величина 1-λ очень мала. При сферической индикатрисе рассеяния это видно из формулы (19.78), а при вытянутой вперёд индикатрисе рассеяния величина 1-λ будет ещё меньше.
Подставим теперь выражение (20.5) в соотношение (20.3). Результат этой подстановки можно записать в виде
𝑥(π-α)
ƒ(α)
+
𝑔(α)
=
ℎ(α)
,
(20.11)
где введены обозначения
ƒ(α)
=
1
4
π/2
∫
α-π/2
cos ω cos(α-ω)
cos ω+cos(α-ω)
𝑑ω
×
×
π/2
∫
0
cos²ψ
𝑑ψ
=
=
π
16
⎛
⎜
⎝
1-
sin
α
2
tg
α
2
ln ctg
α
4
⎞
⎟
⎠
,
(20.12)
𝑔(α)
=
π/2
∫
α-π/2
cos
ω
cos(α-ω)
𝑑ω
×
×
π/2
∫
0
Δ
ρ
cos³ψ
𝑑ψ
,
(20.13)
ℎ(α)
=
π
2
⎛
⎜
⎝
𝑟₁𝑅
𝑟₁Δ
⎞²
⎟
⎠
2,512
𝑚☉-𝑚
.
(20.14)