Курс теоретической астрофизики

Из наблюдательных данных можно найти полную интенсивность излучения в любой линии на высоте ℎ от края диска. Эту величину мы обозначим через 𝐼(ℎ). Очевидно, что она представляет собой количество энергии, излучаемое в линии столбом с сечением 1 см², проходящим на расстоянии ℎ от фотосферы за 1 с в единице телесного угла (рис. 18).

Рис. 18

Величина 𝐼(ℎ) убывает с ростом ℎ, и после обработки результатов наблюдений её обычно представляют в виде

𝐼(ℎ)

=

𝐼(0)

𝑒

^-βℎ

,

(16.1)

где 𝐼(0) и β — некоторые параметры.

Зная величину 𝐼(ℎ) для данной линии, мы можем определить объёмный коэффициент излучения в этой линии. Обозначая его через ε(ℎ), имеем следующее уравнение:

𝐼(ℎ)

=

+∞

∫

-∞

ε(ℎ')

𝑑𝑠

,

(16.2)

где ℎ' — высота произвольной точки на луче зрения и 𝑠 — расстояние, отсчитываемое вдоль луча.

Если 𝑅 — радиус Солнца, то из рис. 18 следует, что

𝑠²

=

(𝑅+ℎ')²

-

(𝑅+ℎ)²

.

(16.3)

Так как толщина хромосферы мала по сравнению с 𝑅, то вместо (16.3) можем написать

𝑠²

=

2𝑅(ℎ'-ℎ)

.

(16.4)

При учёте (16.4) соотношение (16.2) принимает вид

𝐼(ℎ)

=

√

2𝑅

∞

∫

ℎ

ε(ℎ') 𝑑ℎ'

√ℎ'-ℎ

.

(16.5)

Соотношение (16.5) является интегральным уравнением Абеля для искомой функции ε(ℎ). Решение этого уравнения даётся формулой

ε(ℎ)

=-

1

π√2𝑅

𝑑

𝑑ℎ

∞

∫

ℎ

𝐼(ℎ') 𝑑ℎ'

√ℎ'-ℎ

(16.6)

Подставляя (16.1) в (16.6), находим

ε(ℎ)

=

ε(0)

𝑒

^-βℎ

,

(16.7)

где

ε(0)

=

𝐼(0)

⎛

⎜

⎝

β

2π𝑅

⎞½

⎟

⎠

Таким образом при помощи формулы (16.7) и получаемых из наблюдений величин 𝐼(0) и β может быть определён коэффициент излучения ε для каждой линии на любой высоте ℎ.

Определение величин ε(ℎ) производилось на основании наблюдений многих солнечных затмений. В табл. 19 приведена часть результатов, полученных Мензелом и Силлье.

Таблица 19

Излучение хромосферы

в разных спектральных линиях

Атом

Длина волны

линии

β⋅10⁸

lg

ε(0)

𝙷

4681 (

𝙷

_β

)

1,16

-1,63

4340 (

𝙷

_γ

)

1,16

-2,22

3970 (

𝙷

_δ

)

1,16

-2,56

𝙷𝚎

5016

0,58

-4,96

4026

0,67

-4,49

𝙷𝚎⁺

4686

0,30

-5,88

𝙼𝚐

3838

1,81

-2,90

𝚃𝚒⁺

4572

1,58

-3,79

4227

2,11

-3,19

𝙲𝚊

3968

0,69

-2,93

𝙲𝚊⁺

3934

0,69

-2,85

Такие результаты представляют значительный интерес для выяснения физических условий в верхних слоях солнечной атмосферы.

2. Самопоглощение в линиях.

При написании уравнения (16.2) мы считали, что хромосфера прозрачна для собственного излучения. Однако такое предположение справедливо только для верхней хромосферы. При рассмотрении же нижней хромосферы необходимо учитывать самопоглощение в спектральных линиях.

Обозначим через ε_ν(ℎ) и σ_ν(ℎ) коэффициенты излучения и поглощения в частоте ν внутри данной линии на высоте ℎ над фотосферой. Тогда интенсивность излучения в частоте ν, идущего к наблюдателю на расстоянии ℎ от края диска, будет равна

𝐼

_ν

(ℎ)

=

+∞

∫

-∞

ε

_ν

(ℎ')

𝑒

^-𝑡_ν

𝑑𝑠

,

(16.9)

где 𝑡_ν — оптическое расстояние, отсчитываемое вдоль луча зрения, т.е.

𝑡

_ν

=

∞

∫

𝑠

σ

_ν

𝑑𝑠'

,

(16.10)

Мы будем считать, что величина

ε_ν

σ_ν

=

𝑆

(16.11)

не зависит от частоты внутри линии. Так, в частности, обстоит дело при полностью некогерентном рассеянии света.

Очевидно, что величина 𝑆 определяется заданием отношения чисел атомов в верхнем и нижнем состояниях для данной линии, т.е. отношения 𝑛_𝑘/𝑛_𝑖 В самом деле, при помощи (16.11) мы можем написать

𝑛

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

ℎν

_𝑖𝑘

=

4π𝑆

∫

σ

_ν

𝑑ν

.

(16.12)

Кроме того, на основании формулы (8.12) имеем

∫

σ

_ν

𝑑ν

=

ℎν_𝑖𝑘

𝑐

(

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

-

𝑛

_𝑘

𝐵

_𝑘𝑖

),

(16.13)

где в интересах общности принято во внимание отрицательное поглощение. Из формул (46.12) и (16.13), пользуясь соотношениями (8.5), связывающими между собой эйнштейновские коэффициенты переходов, находим

𝑆

=

2ℎν

_𝑖𝑘

³

1

.

𝑐²

𝑔

_𝑘

𝑛

_𝑖

-1

𝑔

_𝑖

𝑛

_𝑘

(16.14)

Разумеется, величина 𝑛_𝑖/𝑛_𝑘 меняется в хромосфере. Однако для простоты мы будем считать её постоянной (соответствующей некоторой средней «температуре возбуждения»). Тогда будет постоянной в хромосфере и величина 𝑆.

Пользуясь формулой (16.11) и допущением о постоянстве 𝑆, вместо уравнения (16.9) получаем

𝐼

_ν

(ℎ)

=

𝑆

+∞

∫

-∞

σ

_ν

(ℎ')

𝑒

^-𝑡_ν

𝑑𝑠

,

(16.15)

или, после интегрирования,

𝐼

_ν

(ℎ)

=

𝑆

⎡

⎣

1

-

𝑒

^{-𝑡⁰_ν(ℎ)}

⎤

⎦

,

(16.16)

где 𝑡⁰_ν(ℎ) — оптическая толщина хромосферы вдоль луча зрения.

Представляя величину σ_ν в виде σ_ν=𝑛_𝑖𝑘_ν, где 𝑘_ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, мы можем написать

𝑡⁰

_ν

=

+∞

∫

-∞

σ

_ν

𝑑𝑠

=

𝑘

_ν

+∞

∫

-∞

𝑛

_𝑖

𝑑𝑠

.

(16.17)

Вводя обозначение

𝑁

_𝑖

(ℎ)

=

+∞

∫

-∞

𝑛

_𝑖

(ℎ')

𝑑𝑠

,

(16.18)

вместо (16.16) находим

𝐼

_ν

(ℎ)

=

𝑆

⎡

⎣

1

-

𝑒

^{-𝑘_ν𝑁_𝑖(ℎ)}

⎤

⎦

.

(16.19)

Интегрирование соотношения (16.19) по всем частотам даёт

𝐼(ℎ)

=

𝑆

∞

∫

0

⎡

⎣

1

-

𝑒

^{-𝑘_ν𝑁_𝑖(ℎ)}

⎤

⎦

𝑑ν

.

(16.20)

где 𝐼(ℎ) — полная интенсивность линии.

Уравнение (16.20) даёт возможность определить величину 𝑁_𝑖(ℎ) по найденной из наблюдений интенсивности излучения 𝐼(ℎ). Величина 𝑁_𝑖(ℎ) представляет собой число атомов в 𝑖-м состоянии, находящихся в столбе с сечением 1 см², проходящем на высоте ℎ от края диска. Эта величина связана с концентрацией атомов 𝑛_𝑖(ℎ) уравнением (16.18), которое можно переписать в виде

𝑁

_𝑖

(ℎ)

=

√

2𝑅

∞

∫

ℎ

𝑛_𝑖(ℎ')

√ℎ'-ℎ

𝑑ν'

.

(16.21)

Решая это уравнение Абеля, мы можем определить искомую величину 𝑛_𝑖(ℎ).