Курс теоретической астрофизики

Будем считать, что звезда излучает как абсолютно чёрное тело температуры T_*. Если бы все небо сплошь было покрыто такими звёздами, то плотность излучения в данном месте туманности равнялась бы плотности излучения при термодинамическом равновесии, т.е. выражалась бы формулой Планка

^*

=

8h^3

1

.

c^3

exp

h

-1

kT

_*

(22.1)

В действительности плотность излучения в туманности гораздо меньше ^*. Мы её представим в виде

=

W

^*

,

(22.2)

где W — так называемый коэффициент дилюции (ослабления) излучения. Очевидно, что

W

=

2

,

(22.3)

Рис. 29

где — телесный угол, под которым видна звезда из данной точки туманности (рис. 29). Обозначим через r_* радиус звезды и через r — расстояние рассматриваемой точки от центра звезды. Так как

=

2

0

sin

d

=

2

(1-cos

)

,

а sin =r_*/r, то мы получаем

W

=

1

2

1-

1-

r_*

r

^2

1/2

.

(22.4)

В точку, находящуюся на поверхности звезды, излучение приходит от полусферы. Поэтому в данном случае (т.е. при r=r_*) W= 1/2 .

Для точек, находящихся на больших расстояниях от звезды (т.е. при r>>r_*), из формулы (22.4) находим

W

=

1

2

r_*

r

^2

.

(22.5)

Заметим, что в этом случае коэффициент дилюции может быть представлен как отношение площади диска звезды r_*^2 к площади сферы радиуса r, т.е. 4r^2.

Средние радиусы планетарных туманностей оказываются порядка 10^1 см, а радиусы их ядер — порядка 10^1 см. Поэтому плотность излучения в планетарной туманности ослаблена приблизительно в 10^1 раз по сравнению с плотностью излучения на поверхности звезды.

Проинтегрировав соотношение (22.2) по всем частотам и воспользовавшись формулой Стефана — Больцмана для интегральной плотности излучения при термодинамическом равновесии, получаем следующее выражение для интегральной плотности излучения в туманности

=

WaT

_*

.

(22.6)

Представив величину в виде =aT, находим

T

=

W

^1/4

T

_*

.

(22.7)

Так как температуры звёзд, вызывающих свечение туманностей, порядка нескольких десятков тысяч кельвинов, а значения W в туманностях, как мы только что определили, порядка 10^1, то значения температуры T соответствующей интегральной плотности излучения в туманностях, оказываются всего порядка нескольких десятков кельвинов.

Итак, интегральная плотность излучения, приходящего от звезды в туманность, чрезвычайно мала. Между тем, как видно из формулы (22.2), относительное распределение этого излучения по частотам оказывается таким же, как при выходе из звезды, т.е. соответствующим очень высокой температуре T_*. Таким образом, излучение, приходящее от звезды в туманность, характеризуется громадным несоответствием между интегральной плотностью и спектральным составом.

Если излучение, обладающее указанным свойством, взаимодействует с веществом, то, как известно из термодинамики, происходит перераспределение излучения по частотам в направлении установления наиболее вероятного распределения. Иными словами, в таком случае должна происходить переработка квантов больших частот в кванты меньших частот. Этим даётся качественное объяснение процесса переработки излучения в газовых туманностях.

3. Теорема Росселанда.

Переходя к рассмотрению процесса свечения туманностей с количественной стороны, мы сначала допустим, что атомы обладают только тремя уровнями энергии (1, 2 и 3). Из различных переходов, происходящих под действием излучения звезды, мы рассмотрим два взаимно противоположных циклических процесса:

I.

1

->

3

->

2

->

1

,

II.

1

->

2

->

3

->

1

.

Первый из этих процессов связан с поглощением одного кванта частоты и с излучением двух квантов меньших частот и , а второй — с поглощением двух квантов частот и , и последующим излучением одного кванта большей частоты .

Найдём число процессов первого и второго рода, происходящих в единице объёма туманности за 1 с. Для этого воспользуемся эйнштейновскими коэффициентами переходов A_ki, B_ik и B_ki и обозначим через _ik плотность излучения частоты _ik.

Если n — число атомов в первом состоянии в 1 см^3, то число переходов из первого состояния в третье, происходящих в 1 см^3 за 1 с, будет равно nB. Из третьего состояния возможны переходы (спонтанные и индуцированные) как в первое состояние, так и во второе. Доля интересующих нас переходов во второе состояние равна

A+B

A+B+A+B

.

Из атомов, оказавшихся во втором состоянии, часть перейдёт обратно в третье состояние, поглотив излучение, а часть перейдёт в первое состояние (спонтанно или под действием излучения). Отношение числа переходов из второго состояния в первое к общему числу переходов из второго состояния равно

A+B

B+A+B

.

Таким образом, для искомого числа процессов первого рода получаем

N

_I

=

nB

A+B

A+B+A+B

x

x

A+B

B+A+B

.

(22.8)

Аналогично находится число процессов второго рода. Оно оказывается равным

N

_II

=

nB

B

A+B+B

x

x

A+B

A+B+A+B

.

(22.9)

Из соотношений (22.8) и (22.9) вытекает следующая формула для отношения числа процессов второго рода к числу процессов первого рода:

N_II

N_I

=

BB(A+B)

B(A+B)(A+B)

.

(22.10)

Чтобы упростить полученную формулу, введём соотношения Эйнштейна:

A

_ki

=

B

_ik

g_i

g_k

_ik

,

B

_ki

=

g_i

g_k

B

_ik

,

(22.11)

где

_ik

=

8h_ik^3

c^3

,

(22.12)