Курс теоретической астрофизики

где I — интенсивность излучения, — коэффициент поглощения, — коэффициент излучения, z — высота над поверхностью планеты, — угол между направлением излучения и нормалью к атмосферным слоям (рис. 24). Величины I, и зависят от частоты излучения, но для упрощения записи индекс мы опускаем.

Рис. 24

Входящая в уравнение (19.1) величина обусловлена рассеянием света, происходящим в элементарном объёме. Мы будем считать, что из общего количества лучистой энергии, поглощённой в этом объёме, рассеивается им доля . В таком случае величина будет представлять собой коэффициент рассеяния, а величина (1-) — коэффициент истинного поглощения. Вообще говоря, вероятность рассеяния излучения в разные стороны неодинакова. Мы обозначим через xd/4 вероятность рассеяния излучения в направлении, образующем угол с направлением падающего на объём излучения, внутри телесного угла d. Величина x называется индикатрисой рассеяния. Если рассеяние излучения происходит с одинаковой вероятностью во все стороны, то x=1. Индикатриса рассеяния в этом случае называется сферической.

Чтобы получить выражение для величины , рассмотрим элементарный объём с единичной площадью основания и толщиной dz, находящийся на высоте z. Этот объём освещён как излучением, приходящим непосредственно от Солнца, так и излучением, рассеянным атмосферой. Обозначим через оптическую глубину данного объёма, т.е. положим

=

z

(z)

dz

.

(19.2)

Тогда количество энергии, падающее на объём непосредственно от Солнца, будет равно F exp(- sec )cos . Из этого количества энергии поглощается объёмом доля  dz , а из неё рассеивается им под углом к направлению солнечного излучения в телесном угле d доля x d/4. Поэтому для коэффициента излучения, обусловленного рассеянием первого порядка, находим

=

4

F

x

exp

-

sec

.

(19.3)

К выражению (19.3) надо добавить ещё член, происходящий от рассеяний высших порядков. В результате для полного коэффициента излучения получаем

=

Ix(')

d'

4

+

4

F

x

exp

-

sec

,

(19.4)

где интегрирование производится по всем направлениям падающего на объём излучения и ' есть угол между каким-либо из этих направлений и направлением излучения, рассеянного объёмом.

В уравнениях (19.1) и (19.4) вместо коэффициента излучения введём величину S посредством соотношения

=

S

.

(19.5)

При произвольной индикатрисе рассеяния величины S и I зависят от оптической глубины зенитного расстояния и азимута . Поэтому вместо уравнений (19.1) и (19.4) мы можем написать

cos

dI(,,)

d

=

I(,,)

-

S(,,)

,

(19.6)

S(,,)

=

4

2

0

d'

0

x(')

I(,',')

sin '

d'

+

+

4

F

x

exp

-

sec

,

(19.7)

где

cos '

=

cos

cos '

+

sin

sin '

cos(-')

,

cos

=-

cos

cos

+

sin

sin

cos

,

(19.8)

а азимут направления солнечных лучей принят равным нулю.

Таким образом, задача о рассеянии света в планетной атмосфере сводится к решению уравнений (19.6) и (19.7). К этим уравнениям следует присоединить ещё граничные условия. Условие на верхней границе атмосферы (т.е. при =0) должно выражать тот факт, что нет диффузного излучения, падающего на атмосферу извне. Условие на нижней границе (т.е. при =) должно учитывать отражение излучения поверхностью планеты.

Решая приведённые уравнения, можно найти интенсивности излучения, выходящего из атмосферы. Сравнение теоретических и наблюдённых значений этих интенсивностей позволяет сделать заключения об оптических свойствах атмосферы, т.е. о величинах , , и x.

В свою очередь по оптическим свойствам атмосферы можно судить о природе частиц, которые её составляют. Для этого используется теория рассеяния света на отдельных частицах (см., например, [4]). Эта теория, разработанная особенно подробно для шаровых частиц, определяет коэффициент поглощения , альбедо частицы и индикатрису рассеяния x в зависимости от отношения радиуса частицы к длине волны излучения и от показателя преломления вещества частицы.

Заметим, что в случае рассеяния света молекулами индикатриса рассеяния определяется формулой Рэлея

x

=

3/4

(1+cos^2)

.

(19.9)

Если же рассеяние света производится частицами, радиусы которых сравнимы с длиной волны излучения, то индикатриса рассеяния обычно оказывается сильно вытянутой вперёд.

2. Полубесконечная атмосфера.

Как уже сказано, атмосферы некоторых планет обладают оптической толщиной, превосходящей по порядку единицу. В этом случае при определении интенсивности излучения, диффузно отражённого атмосферой, приближённо можно считать =.

Сначала мы допустим, что в атмосфере происходит изотропное рассеяние света, т.е. x=1. Тогда величина S будет функцией только от , а интенсивность излучения I — функцией только от и . Поэтому уравнения (19.6) и (19.7) можно переписать в виде

dI(,,)

d

=

I(,,)

-

S(,)

,

(19.10)

S(,)

=

2

+1

-1

I(,,)

d

+

4

F

exp

-

,

(19.11)

где обозначено cos =, cos = и подчёркнута зависимость величин I и S от параметра .

Из уравнений (19.10) и (19.11) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции S(,). Поступая так же, как при выводе уравнения (2.48), находим

S(,)

=

2

0

E|-t|

S(t,)

dt

+

4

F

exp

-

,

(19.12)

где E — первая интегральная показательная функция.