Из наблюдательных данных можно найти полную интенсивность излучения в любой линии на высоте h от края диска. Эту величину мы обозначим через I(h). Очевидно, что она представляет собой количество энергии, излучаемое в линии столбом с сечением 1 см^2, проходящим на расстоянии h от фотосферы за 1 с в единице телесного угла (рис. 18).
Рис. 18
Величина I(h) убывает с ростом h, и после обработки результатов наблюдений её обычно представляют в виде
I(h)
=
I(0)
e
-h
,
(16.1)
где I(0) и — некоторые параметры.
Зная величину I(h) для данной линии, мы можем определить объёмный коэффициент излучения в этой линии. Обозначая его через (h), имеем следующее уравнение:
I(h)
=
+
-
(h')
ds
,
(16.2)
где h' — высота произвольной точки на луче зрения и s — расстояние, отсчитываемое вдоль луча.
Если R — радиус Солнца, то из рис. 18 следует, что
s^2
=
(R+h')^2
-
(R+h)^2
.
(16.3)
Так как толщина хромосферы мала по сравнению с R, то вместо (16.3) можем написать
s^2
=
2R(h'-h)
.
(16.4)
При учёте (16.4) соотношение (16.2) принимает вид
I(h)
=
2R
h
(h') dh'
h'-h
.
(16.5)
Соотношение (16.5) является интегральным уравнением Абеля для искомой функции (h). Решение этого уравнения даётся формулой
(h)
=-
1
2R
d
dh
h
I(h') dh'
h'-h
(16.6)
Подставляя (16.1) в (16.6), находим
(h)
=
(0)
e
-h
,
(16.7)
где
(0)
=
I(0)
2R
1/2
Таким образом при помощи формулы (16.7) и получаемых из наблюдений величин I(0) и может быть определён коэффициент излучения для каждой линии на любой высоте h.
Определение величин (h) производилось на основании наблюдений многих солнечных затмений. В табл. 19 приведена часть результатов, полученных Мензелом и Силлье.
Таблица 19
Излучение хромосферы
в разных спектральных линиях
Атом
Длина волны
линии
·10
lg
(0)
H
4681 (
H
)
1,16
-1,63
4340 (
H
)
1,16
-2,22
3970 (
H
)
1,16
-2,56
He
5016
0,58
-4,96
4026
0,67
-4,49
He
4686
0,30
-5,88
Mg
3838
1,81
-2,90
Ti
4572
1,58
-3,79
4227
2,11
-3,19
Ca
3968
0,69
-2,93
Ca
3934
0,69
-2,85
Такие результаты представляют значительный интерес для выяснения физических условий в верхних слоях солнечной атмосферы.
2. Самопоглощение в линиях.
При написании уравнения (16.2) мы считали, что хромосфера прозрачна для собственного излучения. Однако такое предположение справедливо только для верхней хромосферы. При рассмотрении же нижней хромосферы необходимо учитывать самопоглощение в спектральных линиях.
Обозначим через (h) и (h) коэффициенты излучения и поглощения в частоте внутри данной линии на высоте h над фотосферой. Тогда интенсивность излучения в частоте , идущего к наблюдателю на расстоянии h от края диска, будет равна
I
(h)
=
+
-
(h')
e
-t
ds
,
(16.9)
где t — оптическое расстояние, отсчитываемое вдоль луча зрения, т.е.
t
=
s
ds'
,
(16.10)
Мы будем считать, что величина
=
S
(16.11)
не зависит от частоты внутри линии. Так, в частности, обстоит дело при полностью некогерентном рассеянии света.
Очевидно, что величина S определяется заданием отношения чисел атомов в верхнем и нижнем состояниях для данной линии, т.е. отношения nk/ni В самом деле, при помощи (16.11) мы можем написать
n
k
A
ki
h
ik
=
4S
d
.
(16.12)
Кроме того, на основании формулы (8.12) имеем
d
=
hik
c
(
n
i
B
ik
-
n
k
B
ki
),
(16.13)
где в интересах общности принято во внимание отрицательное поглощение. Из формул (46.12) и (16.13), пользуясь соотношениями (8.5), связывающими между собой эйнштейновские коэффициенты переходов, находим
S
=
2h
ik
^3
1
.
c^2
g
k
n
i
-1
g
i
n
k
(16.14)
Разумеется, величина ni/nk меняется в хромосфере. Однако для простоты мы будем считать её постоянной (соответствующей некоторой средней «температуре возбуждения»). Тогда будет постоянной в хромосфере и величина S.
Пользуясь формулой (16.11) и допущением о постоянстве S, вместо уравнения (16.9) получаем
I
(h)
=
S
+
-
(h')
e
-t
ds
,
(16.15)
или, после интегрирования,
I
(h)
=
S
1
-
e
-t(h)
,
(16.16)
где t(h) — оптическая толщина хромосферы вдоль луча зрения.
Представляя величину в виде =nik, где k — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом, мы можем написать
t
=
+
-
ds
=
k
+
-
n
i
ds
.
(16.17)
Вводя обозначение
N
i
(h)
=
+
-
n
i
(h')
ds
,
(16.18)
вместо (16.16) находим
I
(h)
=
S
1
-
e
-kNi(h)
.
(16.19)
Интегрирование соотношения (16.19) по всем частотам даёт
I(h)
=
S
0
1
-
e
-kNi(h)
d
.
(16.20)
где I(h) — полная интенсивность линии.
Уравнение (16.20) даёт возможность определить величину Ni(h) по найденной из наблюдений интенсивности излучения I(h). Величина Ni(h) представляет собой число атомов в i-м состоянии, находящихся в столбе с сечением 1 см^2, проходящем на высоте h от края диска. Эта величина связана с концентрацией атомов ni(h) уравнением (16.18), которое можно переписать в виде
N
i
(h)
=
2R
h
ni(h')
h'-h
d'
.
(16.21)
Решая это уравнение Абеля, мы можем определить искомую величину ni(h).