Курс теоретической астрофизики

Проблема определения химического состава атмосфер звёзд разных типов очень важна как для теории звёздной эволюции, так и для теории образования элементов. Это обусловлено тем, что в недрах звёзд происходят ядерные реакции, при которых одни элементы превращаются в другие. Надо однако иметь в виду, что по содержанию элементов в атмосфере звезды можно судить о химическом составе её недр лишь в случае перемешивания вещества внутри звезды (подробнее см. [11]).

§ 13. Физические условия в атмосферах

1. Возбуждение и ионизация атомов.

Как известно, при термодинамическом равновесии степень возбуждения и ионизации атомов определяется формулами Больцмана и Саха. Строго говоря, в звёздных атмосферах термодинамическое равновесие отсутствует. Однако и в этом случае в качестве первого приближения пользуются всё-таки формулами Больцмана и Саха. Поэтому при рассмотрении физических условий в звёздных атмосферах мы должны прежде всего остановиться на этих формулах.

Пусть E_i — энергия i-го уровня атома и g_i — его статистический вес (или кратность уровня). Обозначим через n_i число атомов с энергией E_i в 1 см^2 при термодинамическом равновесии. Основная формула статистической физики даёт

n

_i

=

C

g

_i

exp

-

E_i

kT

,

(13.1)

где C — некоторая постоянная.

Из формулы (13.1) получаем

n_i

n

=

g_i

g

exp

-

-_i

kT

,

(13.2)

где обозначено E_i-_i. Величина _i представляет собой энергию ионизации с i-го уровня, а величина -_i — энергию возбуждения этого уровня. Формула (13.2) называется обычно формулой Больцмана.

Формулу (13.1) можно применить и к состояниям с положительной энергией, в которых электрон не связан с атомом. Это даёт возможность найти отношение числа ионов к числу нейтральных атомов. Формула, определяющая это отношение (так называемая формула Саха) имеет вид

n

_e

n

n

=

g

g

2(2mkT)^2^/^3

h^3

exp

-

kT

,

(13.3)

где n — число ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см^3, g — статистический вес этого состояния, n_e — число свободных электронов в 1 см^3.

Аналогичные формулы служат и для нахождения числа атомов в следующих стадиях ионизации. В частности, отношение числа дважды ионизованных атомов к числу однажды ионизованных атомов даётся формулой

n

_e

n

n

=

g

g

2(2mkT)^2^/^3

h^3

exp

-

'

kT

,

(13.4)

где n — число дважды ионизованных атомов в основном состоянии в 1 см^3, g — статистический вес этого состояния, ' — энергия ионизации из основного состояния однажды ионизованного атома.

Применим в качестве примера приведённые формулы к атому водорода. В данном случае g_i=2i^2 и _i=/i^2. Поэтому формула (13.2) принимает вид

n_i

n

=

i^2

exp

-

kT

1

-

1

i^2

.

(13.5)

В частности, для второго уровня имеем

n

n

=

4

exp

-

117 900

T

.

(13.6)

Из формулы (13.6) следует, что при господствующих в звёздных атмосферах температурах в тысячи кельвинов подавляющее большинство атомов водорода находится в основном состоянии. Однако с увеличением температуры степень возбуждения атомов быстро растёт.

Из формулы (13.5) также видно, как меняется число возбуждённых атомов с увеличением номера уровня i. Если температура не очень высока, то величина n_i/n с увеличением i сначала убывает, а затем растёт, причём при очень больших i она растёт приблизительно пропорционально i^2. Отсюда следует, что если бы осуществлялись все уровни атома, то полное число атомов в возбуждённых состояниях было бы бесконечно большим. Однако в действительности из-за возмущений, вызываемых посторонними частицами, высокие уровни атомов не осуществляются. Поэтому число атомов во всех возбуждённых состояниях оказывается обычно гораздо меньше числа атомов в основном состоянии.

При применении формулы ионизации (13.3) к атому водорода мы должны положить g=1, g=2, /k=157 200. В результате находим

n

_e

n

n

=

2,4·10^1

T^2

^/

^3

exp

-

157 200

T

.

(13.7)

Степень ионизации зависит не только от температуры T но и от концентрации свободных электронов n_e. Поскольку же значение n_e в звёздных атмосферах сравнительно мало, то даже при не очень высоких температурах степень ионизации может быть большой. Например, полагая n_e10^1^2, из формулы (13.7) получаем, что уже при T10 000 K значение n/n для водорода будет порядка 300.

При практических расчётах формула ионизации (13.3) часто используется в виде

p

_e

n

n

=

2

g

g

(2m)^3^/^2(kT)^/^2

h^3

exp

-

kT

,

(13.8)

где p_e — электронное давление, равное

p

_e

=

n

_e

kT

.

(13.9)

Производя логарифмирование, вместо (13.8) получаем

lg

p

_e

n

n

=-

5040

T

+

2,5

lg

T

-

0,48

+

lg

2g

g

.

(13.10)

Здесь электронное давление p_e выражено в барах (1 бар = 1 дина/см^2), а энергия ионизации — в электронвольтах. Под электронвольтом понимается энергия, которую приобретает электрон при прохождении разности потенциалов в 1 вольт (1 эВ = 1,60·10^1^2 эрг).