Криптография и свобода

Если же мы вместо битов переходим к байтам, то появляется много нового. Традиционные операции с байтами можно осуществлять несколькими способами. Например, сложение и вычитание могут быть с переносом или без переноса, т.е. или это будут операции в кольце вычетов по модулю 256, или покоординатное сложение бит. Но самое интересное обобщение происходит с операцией отрицания. Отрицание (инверсия) бита – это фактически подстановка на множестве из 2 элементов. Когда всего 2 элемента, то мощность симметрической группы S₂ составляет всего 2! = 2, всего две подстановки: тривиальная единичная (ничего не меняется) и инверсия, когда 0 переходит в 1, а 1 – в 0. Мощность же симметрической группы S₂₅₆ составляет 256! – совершенно фантастическое число. Введение подстановки в регистр сдвига, работающий с байтами, а не с битами, переворачивает все привычные методы криптографического анализа. Совершенно другие операции, а следовательно, нужны и другие подходы к анализу и оценке стойкости таких схем, чем те, которые использовались в традиционных двоичных «балалайках».

С чего начала кафедра математики на 4 факультете? С самого простейшего преобразования, осуществляемого с n-мерными двоичными векторами, с преобразования типа (Gπ)^k, где G – группа, порожденная циклическим сдвигом (G = , g =(0,1,…,2ⁿ-1)-циклическая подстановка), π - некоторая фиксированная подстановка из S₂ⁿ, а k – некоторое целое число.

Если здесь перейти от математических терминов из теории групп к обычной криптографической терминологии, то преобразование типа (Gπ)^k – это следующий узел.

Преобразования типа (Gπ)^k - это, фактически множество подстановок вида g_x1π g_x2π… g_xkπ, и задачей кафедры математики было обосновать какие-то свойства подобного множества, найти их зависимости от подстановки π. Типичная криптографическая ситуация – когда в таком узле входное слово x₁,x₂,…x_k является ключевым параметром, требуется найти подходы к его определению по нескольким известным переходам в реализуемой подстановке.

Кафедра начала с изучения группы , т.е. группы, порожденной двумя подстановками: циклическим сдвигом g и фиксированной произвольной подстановкой π. Это естественное обобщение преобразования (Gπ)^k, предельный случай. Свойства группы дают ответ на вопрос, что в принципе можно ожидать от нашего преобразования при увеличении длины k до бесконечности. Можем ли мы таким путем получить все подстановки или же есть какие-то запреты?

Оказалось, что если случайно и равновероятно выбрать из всей симметрической группы фиксированную подстановку π, то с вероятностью, близкой к 1, группа будет совпадать со всей симметрической группой, т.е. запретов не будет. Те подстановки π, для которых это не так, очень часто легко определяются, например, π=g, а также любая линейная подстановка, реализующая преобразование вида π(x) = ax+b, где a и b – фиксированные элементы из Z/2ⁿ.

Дальше, естественно, стали возникать вопросы: а как скоро мы сможем достичь симметрической группы? Какова будет мощность слоя (Gπ)^k при некотором значении k, например, при k=2 или при k=3? При каком k множество (Gπ)^k станет 2-транзитивным, т.е. по имеющимся в нем подстановкам любая пара (y₁,y₂), в которой y₁≠y₂, сможет перейти в любую пару (z₁,z₂), в которой z₁≠z₂? Что в общем случае можно будет сказать про обобщение 2-транзитивности – m-транзитивность?

За свойство 2-транзитивности взялись основательно, чувствовалось, что здесь могут быть интересные криптографические зацепки: если 2-транзитивность отсутствует, то появляются запреты переходов биграмм текста, широкое поле деятельности для криптоаналитика. Например, если π - упомянутая выше линейная подстановка, то для любой пары (y₁,y₂) будет справедливо соотношение:

π(y₁)- π(y₂) = (ay₁+b) - (ay₂+b) = a(y₁-y₂)

В этом случае при применении подстановки π сохраняется соотношение между разностями знаков, а поэтому кратной транзитивности заведомо не будет.