Криптография и свобода

Первая лекция – математический анализ. Лекции по мат.анализу читает Георгий Павлович Толстов, седой пожилой полковник, всеобщий любимец. Они у него доведены до совершенства, до такого состояния, когда, кажется, что-то не понять просто невозможно. Начиная с простейших понятий точки и ее окрестности, он методично, маленькими шажками переходит ко все более и более сложным теоремам, связанным с функциями и пределами, а заканчивает теорией меры и интеграла, являющейся основой вероятностного пространства. Все даже самые мелкие факты занесены в различные леммы, теоремы, следствия и замечания, все пронумеровано и оприходовано, как в образцовом хозяйстве. Записывать его лекции легко и приятно, говорит ровно, не спеша, всегда укладывается в лекционное время, никогда не повышает голоса. Если уж только в аудитории становится совсем шумно, то Г.П. спокойно обращается: «Товарищи, тише. Теорема-то важная».

Спокойствие, невозмутимость, уверенность в себе, в своем богатейшем опыте, никакой излишней эмоциональности – таким навсегда запомнился мне, да я думаю и не только мне одному, Г.П., один из наших первых и лучших преподавателей с кафедры математики. Однажды на факультете была организована встреча с ветеранами, посвященная очередному дню Победы, на которой Г.П. в своей обычной манере, не спеша, без излишних эмоций, рассказывал нам, молодым курсантам, как он впервые попал на фронт под Сталинградом, как чудом уцелел при переправе через Волгу, как обстреливали и бомбили их тогда немцы. Нам же, узнав о его фронтовом прошлом, оставалось только по-хорошему завидовать нелегкому жизненному опыту этого человека, его характеру и знаниям.

На мой взгляд, Г.П. сумел привить многим из нас такое важное качество, как последовательное движение к цели step by step. В математике и криптографии никогда не следует спешить, пытаться перескакивать через какие-то шаги, кажущиеся на первый взгляд весьма простыми, лучше сделать несколько маленьких шажков, но каждый из них должен быть понятен и очевиден. Это же в полной мере относится и к написанию различных программ, которые затем соединяются в большой программный комплекс. Написание и отладка программы во многом сродни доказательству теоремы: и там и там необходимо получить требуемый результат. И в обоих случаях часто делаешь одну и ту же ошибку: пытаешься прыгнуть сразу подальше чтобы побыстрее завершить свою работу. Иллюзия! Вылавливать допущенные и в теореме, и в программе ошибки подчас бывает намного труднее, чем начать все сначала по методу Г.П.

И точно такой же подход оказывается наиболее эффективным при построении и анализе различных шифров. Что такое классический шифр? Это некоторое математическое преобразование, выполненное над открытым текстом, в результате которого он превращается в шифртекст. Преобразование зависит от ключа и часто является некоторой цепочкой более простых преобразований, зависящих от части ключа или даже только от отдельных его знаков. Посмотрите, например, на американский стандарт DES (Data Encryption Standart) – последовательно, за 16 шагов осуществляется преобразование блока информации. Но почему выбраны именно такие преобразования на каждом шагу? А что будет, если число шагов увеличивать до бесконечности? DES – это уже конечный криптографический продукт, всех мельчайших шажков, осуществленных при его создании, мы не знаем. Остается только слепо верить его создателям, а это не очень хороший подход.

По методу Г.П., создание шифра надо начинать с самых простейших преобразований, тщательно их изучить, просчитать, все несколько раз проверить и затем сделать следующий маленький шажок по пути их усложнения. А тщательное изучение предполагает получение ответов не только на лобовые вопросы типа: стойкий или нестойкий, но и любое другое дотошное копание до истины: что будет, если увеличивать длину ключа до бесконечности? какова мощность каждого слоя? какие операции лучше использовать? не будет ли повторений? И много, много других подобных вопросов. Для обобщения ответов на них в математике применяются такие алгебраические понятия, как группы, кольца и поля.

И вот наша подготовка к получению криптографического образования началась с алгебры, сначала с классической линейной, а затем постепенно, маленькими шажками, ко все более и более сложным теоремам, кончая красивейшей теорией конечных полей, разработанной еще в XIX веке молодым французом Эваристом Галуа. В криптографии теория Галуа легла в основу системы с открытым распределением ключей, предложенной американцами У. Диффи и М.Хеллманом в 1977 году. Но и до этого, в 1974 году на 4 факультете ВКШ КГБ прекрасно понимали всю важность и значимость для криптографии теории Галуа и уделяли ей первостепенное внимание при подготовке криптографов.