Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Теорема о промежуточном значении может показаться очевидной, но у нее есть ряд интересных следствий. Одно из них — теорема о блинах, которую я предпочитаю описывать в менее сладких выражениях. Если вы рассыплете на столе соль (или подадите блины), мы можем доказать наличие прямой, которая делит соль (или блинчик) на две части равной площади, причем прямая может быть проведена под каким угодно углом[157]. Метод, с помощью которого это делается, представлен на рисунке ниже. Сначала нарисуйте за пределами пятна соли прямую под любым углом и назовите ее Х, а затем перемещайте ее в направлении соли, параллельно к исходному положению. Прямая пересечет пятно соли в точке А, когда она еще не покрывает площадь пятна, и оставит соль позади в точке В, когда все пятно пройдено. Пересеченная площадь пятна соли меняется непрерывно по мере того, как прямая проходит это пятно, перемещаясь из точки А в точку В. Согласно теореме промежуточного значения, эта прямая обязательно попадет в позицию, в которой пройденная площадь составляет ровно половину общей площади. Наше доказательство не указывает, где именно проходит линия раздела, а только говорит о том, что она однозначно существует.

Теорема о соли

А теперь давайте рассыплем на столе соль и перец. Здесь мы тоже можем доказать наличие прямой, разделяющей их на две части равной площади. Начнем с определения прямой Х, которая делит пополам пятно соли и не касается перца, как показано на рисунке ниже. Затем повернем прямую по часовой стрелке, не забывая следить за тем, чтобы она постоянно разбивала пятно соли на две равные части. Мы знаем, что это можно сделать, поскольку, как было показано выше, деление пятна соли пополам происходит под любым углом. Наша прямая касается пятна перца в точке А и выходит за его пределы в точке В. Покрытая площадь пятна перца увеличивается непрерывно от ноля до максимума, а значит, прямая обязательно пройдет ту точку, в которой она тоже делит пятно перца на две равные части. На рисунке пятна соли и перца расположены отдельно, но, даже если бы они пересекались, всегда найдется прямая, которая разделит их на две части равной площади.

Теорема о соли и перце

В период между Первой и Второй мировыми войнами математики из Львова (тогда Польша) регулярно встречались в Шотландском кафе и обсуждали там такие математические «лакомства», как теорема о блинах[158]. Один из членов группы Гуго Штейнгауз как-то задал вопрос о том, можно ли расширить эту теорему на три измерения. «Можем ли мы положить кусок окорока под нож мясорезки так, чтобы мясо, жир и кости были разрезаны ровно пополам?» — спросил он. Его друг Стефан Банах доказал, что это возможно, воспользовавшись теоремой, названной именами двух других участников группы — Станислава Улама и Кароля Барсука. Впоследствии вывод Банаха получил известность под названием «теорема о бутерброде с ветчиной», поскольку он эквивалентен утверждению о том, что можно разрезать бутерброд с ветчиной поровну одним движением ножа таким образом, что каждый слой хлеба и ветчины будет разделен поровну независимо от их исходного положения и формы.

Математики, которые собирались в Шотландском кафе, записывали в толстую тетрадь все обсуждаемые во время встреч вопросы, а когда уходили домой, отдавали ее на хранение метрдотелю. Эта тетрадь, впоследствии получившая название «Шотландская книга», представляет собой уникальный продукт совместной работы, и не только из-за того, как она написана. (Эта тетрадь так и не была издана в виде книги, но некоторые из записанных в ней задач были опубликованы впоследствии в журналах.) Штейнгауз, Банах и Улам были выдающимися математиками, образовавшими самую талантливую троицу ученых, когда-либо существовавшую где бы то ни было. В 1941 году, через несколько дней после того, как Штейнгауз записал в этой тетради, как оказалось, последнюю задачу, немецкие войска оккупировали Львов. Штейнгауз, который был евреем, скрылся и пережил войну в небольшом городке возле Кракова под именем умершего лесника. В эти годы он восстановил по памяти большинство известных ему математических задач и работал над новыми, в том числе и еще над одной, связанной с едой.