Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Немецкий философ Иммануил Кант тоже вступил в полемику по поводу отрицательных чисел, заявив в своем труде Attempt to Introduce the Concept of Negative Quantities into World-Wisdom («Опыт введения в философию понятия отрицательных величин»), что бессмысленно использовать против них метафизические аргументы[125]. Он доказал, что в реальном мире многое может иметь как положительное, так и отрицательное значение, подобно двум противонаправленным силам, воздействующим на объект. Отрицательное число представляет собой не отрицание числа, а скорее, сопоставимое противоположное.

Тем не менее даже в конце XVIII столетия еще оставались математики, глубоко убежденные в том, что отрицательные числа — это «специальный термин, лишенный здравого смысла; но, будучи однажды введенным в оборот, подобно многим другим выдумкам, находит своих самых рьяных сторонников среди тех, кто любит принимать все на веру и не терпит тяжелый труд серьезных размышлений»[126]. Уильям Френд, второй среди лучших студентов, изучавших математику в Кембридже, написал эти слова в 1796 году в книге, которая стала уникальной в математической литературе: это было введение в алгебру, не содержащее ни единого отрицательного числа.

Когда мы изучаем отрицательные числа в школе, нам не рассказывают всю эту предысторию. Мы принимаем отрицательные числа по аналогии с числовой осью, а затем узнаем поразительную новость:

Минус, умноженный на минус, дает плюс.

Вот это да! Числовая ось прекрасно справляется с визуальной репрезентацией отрицательных чисел, но она не дает представления о том, что происходит, когда мы умножаем их друг на друга. Математика становится еще сложнее.

Почему произведение двух отрицательных чисел равно положительному числу? Потому что это вытекает из правил умножения положительных чисел. Мы принимаем, что два отрицательных числа образуют положительное, поскольку это обеспечивает связность арифметических операций, а не потому, что в основе данной системы лежит какой-то смысл. Это необходимый структурный элемент того основания, которое не дает зданию чисел разрушиться. Рассмотрим числовую ось. Если я сделаю два шага вперед от 0, я попаду в позицию 2. Если я повторю эти два шага, я доберусь до 4, а если сделаю это еще раз, то достигну точки 6. Точно так же, если я перемещусь на две единицы назад от ноля, я попаду в точку −2, а если повторю эти шаги еще два раза, то выйду на −6.

Все эти операции можно записать в виде таких выражений:

2 + 2 + 2 = 6

−2 −2 −2 = −6

Что эквивалентно следующим произведениям:

3 × 2 = 6

3 × −2 = −6

Эти выражения говорят нам о том, что если положительное число умножить на положительное, получится положительный результат, а если положительное число умножить на отрицательное, результат будет отрицательный. Для того чтобы выяснить, что произойдет в случае перемножения двух отрицательных чисел, давайте в последнем выражении подставим вместо числа 3 разность (4–1), что даст нам следующее уравнение:

(4–1) × −2 = −6

Это уравнение можно записать так:

(4 × −2) + (−1 × −2) = −6

Мы знаем, что согласно правилам выполнения арифметических операций с положительными числами, когда два члена выражения, взятые в скобки, умножаются на одно число, необходимо умножить каждый член выражения в скобках на это число отдельно. (Это правило известно как закон дистрибутивности.) Получается следующее уравнение:

−8 + (−1 × −2) = −6

Следовательно:

(−1 × −2) = 2

Вот мы и пришли к тому, что искали. Минус, умноженный на минус, дает плюс.

Одна из причин того, почему нам так трудно понять принцип умножения отрицательных чисел на концептуальном уровне, состоит в том, что в жизни существует множество ситуаций, в которых арифметика создает неправильную модель. Не успел учитель объяснить нам эту идею, как нам рассказывают, что два заблуждения — еще не правда. В лингвистике двойное отрицание может быть либо отрицанием, либо утверждением, в зависимости от контекста и языка. Когда я изучал португальский, мне пришлось привыкать к тому, что на этом языке фразу I know nothing (одно отрицание) необходимо говорить так: não sei nada, или I don’t know nothing (двойное отрицание»). В данном случае два отрицания усиливают отрицание, а не нейтрализуют друг друга.

Безусловно, в английском языке двойное отрицание равносильно утверждению. Лингвист Джон Лэнгшо Остин однажды на конференции сказал, что ни в одном языке дважды повторенное утверждение не дает отрицания. Говорят, что сидевший в зале философ Сидни Мордженбессер произнес в ответ: «Да-да».