Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Представьте себе, что вы проводите собеседования с двадцатью претендентами на должность вашего секретаря, причем решение относительно каждого кандидата должны принимать сразу. Если вы предложите это место первому же соискателю, то не поговорите со всеми остальными, а если никого не выберете до самого последнего претендента, то вам придется отдать эту работу именно ему. Или представьте, что вы намерены назначить свидание двадцати женщинам, зная, что на каждом очередном свидании вам предстоит решать, ваша ли это избранница, прежде чем назначать свидание следующей женщине. (Приношу свои извинения читательницам. Данная аналогия основана на предположении о том, что мужчина делает предложение женщине, а женщина обязательно отвечает согласием.) Если вы сделаете предложение на первом свидании, вы не сможете встретиться со всеми остальными женщинами, а если побываете на свидании с каждой из них, вам придется сделать предложение последней женщине, с которой вы встретитесь. В обоих случаях лучший способ увеличить вероятность выбора самой подходящей кандидатуры — провести собеседования с 36,8 процента кандидатов, а затем предложить работу или руку и сердце тому из них, кто окажется лучшим из тех, с кем вы уже пообщались. Этот метод не гарантирует, что вы найдете наиболее оптимальный вариант (вероятность всего 36,8 процента), но это все равно лучшая стратегия.

Если бы Кеплер знал в свое время, что ему предстоит общение с одиннадцатью женщинами, и применил эту стратегию, он встретился бы с 36,8 процента из них (четырьмя), а затем сделал бы предложение той из оставшихся кандидаток, которая понравилась бы ему больше тех, кого он уже видел. Другими словами, он выбрал бы пятую женщину, что он действительно сделал, но только после того, как встретился со всеми одиннадцатью претендентками (и этот брак оказался счастливым). Если бы Кеплер знал решение задачи о браке, он избавил бы себя от шести неудачных свиданий.

Задача о выборе секретаря (или задача о браке) стала одной из самых знаменитых в занимательной математике, хотя она и не отображает реальность, поскольку боссы могут вызывать кандидатов повторно, а мужчины — возвращаться к тем женщинам, с которыми встречались ранее (как и сделал Кеплер). Тем не менее в основе ее решения лежит невероятно полезная теория, получившая название «оптимальная остановка», другими словами — математическое обоснование того, когда лучше всего остановиться. Решение задачи об оптимальной остановке играет важную роль в сфере финансов, позволяя, например, определить, когда пора ограничить убытки по инвестициям или исполнить фондовый опцион. А еще оно может пригодиться в таких областях, как медицина (скажем, чтобы рассчитать оптимальное время для прекращения того или иного курса лечения), энергетика (чтобы составить прогноз, когда не стоит полагаться на углеводородное топливо), зоология (чтобы установить, когда закончить исследование большой популяции животных в поисках новых видов, которых там, похоже, нет, тем самым избежав напрасной траты средств).

Российский олигарх Борис Березовский был в прошлом профессором математики Академии наук СССР, которая стала преемницей альма-матер Эйлера[118] В 1980-х годах в соавторстве с другим ученым Березовский написал книгу, посвященную задаче о выборе секретаря. В 2003 году он переехал в Великобританию. Я несколько раз обращался к Борису Березовскому с просьбой о встрече, но всякий раз он просил меня перезвонить через пару месяцев. Через год безуспешных попыток я понял, что пора остановиться.

В основе решения задачи об оптимальной остановке лежит предположение о том, что взвешенные решения относительно случайных событий можно принимать исходя из накопленных знаний. Рассмотрим игру, в которой существует фантастически изобретательный способ использовать малейшие крохи информации[119]. (Эта игра не имеет отношения к числу e, но вы уж простите меня за небольшое отклонение от темы экспонент.) Результат настолько противоречит здравому смыслу, что поначалу многие математики просто отказываются в него верить.

Это достаточно простая игра. Вы записываете два разных числа на отдельных листах бумаги и кладете эти листы числами вниз. Я переворачиваю один из листов и говорю вам, больше на нем число, чем то, которое остается скрытым, или нет. Каким бы удивительным это ни казалось, но я дам правильный ответ более чем в половине случаев.

На первый взгляд это похоже на магию, но на самом деле здесь нет никаких трюков. Мой выбор не зависит от человеческого фактора, в частности от того, какие вы указали числа или как разместили листы на столе. Именно математика, а не психология позволяет мне выигрывать чаще, чем проигрывать.

Предположим, что мне нельзя переворачивать ни один из листов бумаги. В таком случае вероятность того, что я угадаю, на каком листе число больше, составляет 50 на 50. Есть два варианта выбора, один из которых будет правильным. Мои шансы угадать правильный ответ те же, что и в случае подбрасывания монеты.