Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Сумма удвоится, когда (1 + r)^t = 2. Чтобы решить это уравнение, необходимо взять натуральный логарифм обеих его частей. Натуральный логарифм — это логарифм с основанием е, который обозначается как ln. Таким образом

ln (1 + r)^t = ln 2

Что сводится к

t ln (1 + r) = ln 2

Следовательно,

Когда r имеет небольшое значение, то ln (1 + r) ≈ r, стало быть, это уравнение можно записать так:

Что эквивалентно

Если r — скорость, выраженная в дробном виде, то обозначим через R скорость в процентном выражении. В таком случае необходимо умножить числитель и знаменатель в дроби t на 100

Следовательно, количество периодов начисления сложных процентов t, необходимых для удвоения суммы, составляет 69 разделить на темпы роста в процентах R.

Поскольку число 72 легче делится на другие числа, чем 69, в правиле 72 чаще всего используется именно это число, хотя значение 69 было бы точнее[187].

Приложение 6

Площадь самого большого заштрихованного квадрата составляет . Второй по величине заштрихованный квадрат имеет площадь, равную четверти самого большого квадрата, то есть . Площадь третьего по величине квадрата составляет четверть этой площади и т. д. Следовательно, общая площадь заштрихованных квадратов равна

Однако каждому заштрихованному квадрату соответствует ровно по два незаштрихованных квадрата одинакового размера. Таким образом, площадь заштрихованных квадратов должна также составлять общей площади. Стало быть,

Приложение 7

КАК СПРАВЕДЛИВО РАЗДЕЛИТЬ ПИРОГ НА ТРОИХ

Назовем этих троих Гуго, Стефан и Станислав — по именам математиков, внесших самый большой вклад в создание «Шотландской книги».

Шаг 1. Гуго делает первый разрез. Его задача — отрезать пирога.

Шаг 2. Гуго передает свой кусок Стефану, который должен оценить, равен ли он пирога или нет. Если, по его мнению, кусок слишком большой, он отрезает от него немного.

Шаг 3. Кусок передается Станиславу, который решает, брать его или нет. Если Станислав берет кусок, Гуго и Стефану предстоит разделить оставшийся большой кусок, а также небольшой кусочек, отрезанный Стефаном. Один из них делит оба куска надвое, а другой выбирает.

Шаг 4. Если Станислав не берет кусок пирога, существуют две возможности в зависимости от того, обрезал ли Стефан кусок Гуго.

Если Стефан обрезал кусок, он должен его взять. Двое других делят оставшийся кусок пирога, как в шаге 3.

Если Стефан не обрезал кусок, тогда его берет Гуго, а двое других делят остаток.

С точки зрения логики это правильный подход, но в случае его применения на практике можно запутаться.

Приложение 8

На рисунке 1 ниже показано решето Эратосфена на уровне поколения 0. На рисунке 2 это решето изображено на уровне поколения 650, на котором простые числа 2, 3, 5, 7 и 11 уже благополучно прошли процедуру отбора, а на рисунке 3 представлен более детальный план зоны обстрела глайдерами, изображенной на рисунке 2.

Весь процесс выглядит следующим образом. Фигура, выделенная на рисунке 2 и обозначенная как «ружье А», выстреливает космические корабли, движущиеся слева направо (каждый корабль представляет нечетное число). Эти корабли покинут основную конфигурацию, если им удастся уйти из-под огня ружей, выстроившихся вверху.

Давайте внимательнее рассмотрим эти ружья. Перемещаясь справа налево (именно в таком порядке создаются ружья), первое ружье (ружье В) выстреливает глайдер по диагонали вниз и налево через каждые три интервала. Это ружье уничтожит все космические корабли, которые представляют числа, кратные трем. Второе ружье (ружье С) выстреливает глайдеры через каждые пять интервалов, уничтожая все корабли, представляющие числа, кратные пяти. Следующее ружье уничтожит все корабли, представляющие числа, кратные семи, и т. д. В общем виде это выглядит так: когда ружье А порождает космический корабль, представляющий нечетное число n, зона обстрела расширяется влево, для того чтобы создать пространство для ружья, выстреливающего глайдеры через каждые n интервалов. Совокупный эффект сводится к тому, что пройти эту зону смогут лишь корабли, соответствующие простым числам. Если число n не является простым, то у него есть минимум два делителя, поэтому космический корабль, находящийся в позиции n, в конце концов будет уничтожен ружьем, выстреливающим глайдеры с интервалом, равным самому большому делителю числа n.

Для того чтобы максимально упростить процесс, ружье А выстреливает космические корабли только на позициях, соответствующих нечетным числам. После числа 2 все простые числа являются нечетными, а значит, нет необходимости конструировать космические корабли четных чисел, поскольку они все равно будут уничтожены. Четное число 2 представляет лишь первый корабль потока.

(1) Поколение 0

(2) Поколение 650

(3) Детали поколения 650

Благодарности