Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Роберваль (1602–1675) доказал много теорем о циклоиде, но не опубликовал ни одной из них. Для того чтобы сохранить место профессора математики в самом престижном учебном заведении страны Коллеж де Франс, он должен был предоставлять лучшее решение задачи, которая публично объявлялась один раз в три года. Поэтому у Роберваля не было стимула делиться своими результатами, поскольку ими могли бы воспользоваться потенциальные соперники, внимательно следившие за его работой. Должность Роберваля обеспечивала ему престиж и деньги, но лишила собственного научного наследия. Его можно отнести к числу великих французских математиков, о которых помнят меньше всего. Известно, что Роберваль был очень вспыльчив и расстраивался, когда другие ученые обнародовали результаты, которые он уже давно получил. Когда в 1644 году друг Роберваля, итальянец Эванджелиста Торричелли, опубликовал свой первый труд о циклоиде, разъяренный Роберваль отправил ему письмо с обвинениями в плагиате. Торричелли умер три года спустя от тифа, но ходили слухи, что его смерть связана с измучившими его угрызениями совести из-за обвинений в подобном бесчестии.

Однажды вечером в Париже в 1658 году Блез Паскаль лежал без сна в своей постели, терзаемый жестокой зубной болью. Будучи в прошлом знаменитым математиком, к тому времени он отказался от занятий этой наукой, чтобы сосредоточиться на теологии и философии. Пытаясь отвлечься от зубной боли, Паскаль решил поразмышлять о циклоиде. Боль прошла как по волшебству. Разумеется, он подумал, что это сам Бог призывает его продолжить изучение этой божественной кривой. Паскаль усердно работал над ней целых восемь дней, доказав за данный период много новых теорем. Однако, вместо того чтобы опубликовать, он сделал их темой международного состязания. Паскаль призвал своих коллег найти доказательство некоторых из полученных им результатов, пообещав сорок испанских золотых монет в качестве награды за первое место и двадцать — за второе. Вызов Паскаля приняли только два математика — Джон Уоллис в Англии и Антуан де Лалубер во Франции. Однако в представленных ими доказательствах были ошибки, поэтому Паскаль не присудил премию никому и опубликовал собственные результаты в виде небольшой книги, что привело обоих ученых в ярость. Кроме того, Паскаль получил письмо от Кристофера Рена, в котором шла речь об одном неизвестном Паскалю факте. Рен нашел ответ на, пожалуй, самый главный вопрос, касающийся циклоиды: какова ее длина? Рен доказал, что длина циклоиды ровно в восемь раз больше радиуса образующей окружности. Разумеется, когда Роберваль узнал об этом, он был возмущен и настаивал на том, что именно он это доказал много лет назад.

Интерес к циклоиде возрос еще больше, когда Христиан Гюйгенс открыл одно ее удивительное механическое свойство. В рамках работы над созданием часов нового типа голландский ученый экспериментировал с маятниками. Обычный маятник — это кусок нити с шаром у одного конца, как показано на рисунке ниже. Траектория движения шара представляет собой фрагмент окружности, причем чем дальше маятник отклоняется от вертикального положения, тем больше времени занимает одно полное колебание. Однако, для того чтобы использовать маятник для отсчета времени, Гюйгенсу было нужно, чтобы шар совершал колебания за одинаковые промежутки времени, независимо от амплитуды. Размышляя над задачей, поставленной его другом Паскалем, Гюйгенс понял, что для этого траектория движения шара должна представлять собой не что иное, как перевернутую циклоиду (см. второй рисунок), и что этого можно добиться, разместив две «щеки» в форме циклоиды у вершины маятника[96]. Когда маятник совершает колебание, его нить огибает каждую из «щек», меняя первоначальную круговую траекторию движения шара на траекторию в форме циклоиды. Как бы далеко от центра ни отклонялся шар циклоидального маятника, время его возвращения в начальную точку останется неизменным.

Обычный маятник и маятник, совершающий колебания между двумя циклоидами

Поражает еще один аспект данного свойства циклоиды. Представьте себе два шара, движущихся по совершенно гладкой, не создающей трения кривой в форме перевернутой циклоиды, как показано на рисунке ниже. Для того чтобы достичь нижней точки циклоиды, обоим шарам требуется одинаковое время, независимо от исходных позиций. Шар, находящийся выше, начал двигаться по более крутому склону, чем шар, расположенный ниже на кривой, что придало первому шару большее ускорение, а значит, и более высокую скорость. Эти два шара столкнутся в самой нижней точке кривой. Когда циклоиду объявили «кривой равных времен» (таутохроной, от греч. tautochrone: tauto — «тот же» и chrone — «время»), ученые пришли от нее в неописуемый восторг.

Траектория спуска шаров за равное время