Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Точно так же длина первого интервала равна log 2 – log 1, второго log 3 – log 2, а интервала d — log (d + 1) – log d. Это означает, что эти вероятности можно более точно выразить как log (d + 1) – log d для каждого значения d.

Приложение 2

Здесь я покажу вам, что в двойном логарифмическом масштабе любое уравнение вида всегда представлено прямой линией с наклоном влево, и наоборот: в двойном логарифмическом масштабе прямую с наклоном влево всегда можно описать представленным выше уравнением. Если на координатных осях откладываются логарифмы ранга и частотности, то прямая с наклоном влево отображает закон Ципфа:

Для того чтобы понять изложенные ниже разъяснения, мы должны иметь определенное представление о координатной геометрии (о концепции градиента, например), а также об основных свойствах логарифмов. Кроме того, нам необходимо принять как истинное следующее утверждение.

(1) На координатной плоскости, где горизонтальная и вертикальная оси обозначаются как х и у, все прямые линии могут быть описаны уравнением y = mx + c, где m — это градиент прямой, а с — точка, в которой эта прямая пересекает вертикальную ось.

Итак, начнем с уравнения:

Возьмем логарифм от обеих его частей:

Согласно свойствам логарифмов, мы можем записать это уравнение в таком виде:

log y = log k – logx^a

Или так:

log y = log k – a log x

Если log y = Y, а log x = X, то это уравнение можно записать следующим образом:

Y= –aX + log k

Исходя из представленного выше предположения (1), мы знаем, что на координатной плоскости, где Х — это горизонтальная ось, а Y — вертикальная, это прямая с градиентом –а, пересекающая вертикальную ось в точке log k.

Поскольку Х = log x, а Y = log y, этот график отображен в двойном логарифмическом масштабе, а так как градиент отрицательный, можно сделать вывод, что прямая должна быть наклонена влево.

Аналогичным образом представьте себе прямую с уклоном влево в двойном логарифмическом масштабе. Согласно предположению (1), ее можно описать таким уравнением:

log y = –log x + c

(Поскольку прямая наклонена влево, можно сказать, что она имеет отрицательный градиент.)

Если c = log k, это дает уравнение:

log y = –a log x + log k

или

log y = log k – a log x

Воспользовавшись свойствами логарифма, это уравнение можно преобразовать так:

log y = log k – log x^a

Или так:

Что означает следующее:

Что и требовалось доказать.

Дополнительный вывод состоит в том, что уравнение y = kx^a описывает прямую с уклоном вправо в логарифмическом масштабе, а любая такая прямая может быть представлена данным уравнением.

Приложение 3

ВЫСОТА ГОРЫ

На рисунке изображены треугольники из главы 3. Наша задача — вычислить высоту горы h, зная только значения α, β и d. Пусть е — это расстояние от точки, находящейся непосредственно под вершиной, до ближайшей точки наблюдения.

Нам известно, что , а также что . Преобразуем эти уравнения так:

h = (d + e) tan α

h = e tan β

Следовательно:

(d + e) tan α = e tan β

Что можно записать в таком виде:

Исходя из равенства h = e tan β, мы можем утверждать, что:

В этом уравнении высота рассчитывается только с использованием значений α, β и d.

РАДИУС ЗЕМЛИ

На этом рисунке представлен тот же треугольник, что и на соответствующем рисунке в главе 3. Нам известен угол между горизонталью и горизонтом θ и высота горы h. Наша задача — вычислить радиус Земли r.

Сначала надо показать, что угол, исходящий из центра Земли, равен θ. На рисунке видно, что угол ϕ равен 90º – θ. Поскольку сумма углов в треугольнике составляет 180º, то искомый угол равен θ.

Мы знаем, что

Следовательно:

(r + h) cos θ = r

r cos θ + h cos θ = r

Эти равенства можно преобразовать так:

r – r cos θ = h cos θ

r (1 – cos θ) = h cos θ

Тогда

Приложение 4

МАШИНА УМНОЖЕНИЯ

Утверждение. Для того чтобы умножить a × b, необходимо построить на параболе y = x² прямую из точки x = −а до точки x = b, как показано на рисунке. Прямая линия, соединяющая эти две точки, пересекает ось y в точке a × b.

Доказательство. Примем за истинное следующее утверждение: уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (p, q), имеет вид y – q = (x – p)m, где m — градиент.

Прямая на графике проходит через точки с координатами (−a, a²) и (b, b²).

Градиент этой прямой, который представляет собой отношение расстояния по вертикали к расстоянию по горизонтали, рассчитывается по формуле , которую можно преобразовать к виду , затем это выражение можно сократить до (b – a).

Следовательно, уравнение прямой выглядит так:

y – a² = (x + a) (b – a)

Его можно преобразовать следующим образом:

y – a² = xb – xa + ab – a²

Члены –a² можно сократить, после чего останется такое уравнение:

y = xb – xa + ab

Если прямая пересекает вертикальную ось, тогда x = 0, а значит,

y = ab

Другими словами, прямая пересекает ось в точке ab, что равно a × b.

Приложение 5

Если сумма S наращивается со скоростью r, то после t периодов начисления сложных процентов значение этой суммы равно

S (1 + r)^t