Красота в квадрате Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Готлоб Фреге опубликовал свою теорию в книге The Basic Laws of Arithmetic («Основные законы арифметики»), первый том которой вышел в 1893 году. Однако, когда второй том уже находился в типографии, Фреге узнал весьма неприятную новость. Профессор философии Кембриджского университета Бертран Рассел прислал ему письмо, в котором указывал на одно противоречие. Поскольку задача сведения арифметики к логике состояла в создании системы, полностью лишенной противоречий, найти хотя бы одно несоответствие было равносильно катастрофе. Фреге быстро написал к книге дополнение: «Вряд ли ученый может столкнуться с чем-либо более нежелательным, чем разрушение основ в тот момент, когда работа уже завершена». С тех пор слово «нежелательный», которое использовал тогда Фреге, называют величайшим преуменьшением в истории математики.

Рассел открыл проклятие самореференции (самоотносимости).

Ниже приведены некоторые из моих любимых утверждений, ссылающихся на самих себя[163].

предложение должно начинаться с большой буквы.

В вопросе «быть или не быть» скомбинированы два предложения.

В этом предложении !!! преждевременно поставлен знак препинания

Однако самое древнее самоотносимое предложение приписывают критянину Эпимениду, который сказал: «Все критяне лжецы». Эпименид не только ссылается сам на себя, но и сам себе противоречит. Если он говорит правду, значит, он лжет, а если лжет, тогда говорит правду. Высказывание Эпименида (которое назвали «парадоксом лжеца») получило множество новых интерпретаций. Дайте ответ «да» или «нет» на такой вопрос: «Будет ли следующее слово, которое вы скажете, словом “нет”?»

Бертран Рассел понял, что парадокс самореференции нанесет серьезный удар по проекту Фреге и, возможно, даже погубит его. Преимущество использования множеств в качестве основы арифметики состоит в том, что эту концепцию легко понять: множество — это просто совокупность объектов. Однако Рассел изобрел такое множество:

Множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.

Большинство множеств не содержат себя в качестве своего элемента. Множество туфель не является туфлей. Но некоторые множества все же являются исключениями. Например, множество концепций — это тоже концепция. А теперь посмотрим на множество Рассела. Содержит ли оно себя? Если предположить, что да, мы придем к выводу, что не содержит, а если предположить, что нет, то мы сделаем вывод, что содержит! Это множество имеет противоречие. Рассел провел аналогию с брадобреем одной деревни, на стене дома которого висела табличка: «Я брею всякого, кто сам не бреется». Кто же бреет брадобрея? Если он сам бреется, значит, он не побреет себя, а если он сам не бреется, значит, он себя побреет. Мы имеем бесконечный цикл рассуждений, противоречащих друг другу.

Парадокс Рассела демонстрирует, что множества в том виде, как их представлял себе Фреге, нельзя использовать в качестве прочной основы для арифметики. Самореференция со свойственной ей внутренней противоречивостью способна испортить всю систему. Однако, вместо того чтобы отбросить проект Фреге как ошибочный, Рассел стал его величайшим сторонником. Мечта о том, чтобы поставить математику на надежную логическую основу, была слишком заманчивой, чтобы от нее отказываться. На протяжении следующих десяти лет Рассел вместе с Альфредом Нортом Уайтхедом работал над усовершенствованием этой системы. Рассел и Уайтхед согласились с предположением Фреге о том, что множество может стать подходящей основой для чисел. Но, чтобы избавиться от парадоксов самореференции, они создали строгую иерархию множеств. На ее первом уровне находятся объекты, такие как книги или кошки. На втором — множества объектов первого уровня, такие как книги на моей полке или кошки на моей улице. На третьем — множества объектов второго уровня, такие как полки с книгами по математике или лондонские кошки, сгруппированные по улицам. Парадокс Рассела не может возникнуть, поскольку то или иное множество может быть только членом множества верхнего уровня, а значит, не может содержать само себя.

Рассел и Уайтхед ввели систему обозначений, определения и аксиомы, чрезвычайно строго и тщательно сформулированные. Стремление ученых к простоте и понятности разъяснений привело к написанию одного из самых сложных и неудобочитаемых текстов за всю историю математики. Только на 379-й странице авторы смогли доказать, что 1 + 1 = 2. Когда они предложили опубликовать книгу Principia Mathematica («Принципы математики»), издатель отказался это делать, поскольку не смог найти читателей, способных ее понять. Написание этой книги потребовало таких огромных умственных усилий, что Рассел больше никогда ничего не писал по математике или логике.