Когда ты была рыбкой, головастиком - я...

По всей видимости, первую попытку обобщить этот парадокс квадрата и прямоугольника с помощью упомянутого ряда Фибоначчи предпринял В. Шлегель (см. его статью в «Zeitschrift fur Mathematik und Physik» [55]). Э.Б. Эскотт опубликовал похожий анализ в «Open Court» [56], описав несколько иной метод разрезания квадрата. Льюис Кэрролл интересовался этим парадоксом и оставил ряд незавершенных заметок, где он приводит формулы для расчета других сторон фрагментов [57].

Бесконечное количество других вариантов получим, если положим в основу этого парадокса другие ряды Фибоначчи. Так, квадраты, построенные на основе ряда 2, 4, 6, 10, 16, 26…, дают прибавку или потерю в 4 квадратные единицы. Величину этой прибавки-потери легко можно вычислить: это разность между квадратом любого элемента последовательности и произведением соседних с ним элементов. Ряд 3, 4, 7, 11, 18… дает прибавку или потерю в 5 квадратных единиц. Т. де Молидар [58]в своей «Grande Encyclopedie des Jeux» [59]изображает квадрат, основанный на ряде 1, 4, 5, 9, 14… Длина стороны квадрата равна 9, a при превращении в прямоугольник он теряет и квадратных единиц. Ряд 2, 5, 7, 12, 19… также дает потери и прибавки, равные 11. Однако в обоих случаях перекрывание («добавочная площадь») вдоль диагонали прямоугольника достаточно велико, и его можно заметить. Пусть А, В и С — три последовательных члена какого-нибудь ряда Фибоначчи, а X — потеря или прибавка площади. Тогда получим две следующие формулы:

А + В = С

В ²= АС ± X

Можно заменить X любой потерей или прибавкой, которую мы хотим получить, а вместо В подставить любую длину квадрата, которая нам нравится. Затем можно составить квадратные уравнения, а решив их, узнать два других элемента нашего ряда Фибоначчи, хотя, конечно, это не обязательно будут рациональные числа. Поэтому, к примеру, невозможно получить потери или прибавки в 2 или 3 квадратные единицы, деля квадрат на куски с рациональными длинами. Но если длины составят иррациональные числа, то, конечно, результата достичь удастся. Таким образом, ряд Фибоначчи 2, 22, 32, 52… даст прибавку или потерю, равную 2, а ряд 3, 23, 33, 53… даст прибавку или потерю в 3 квадратные единицы.

Доктор Матрикс великодушно сослался в своей лекции на главы 8 и 9 моей книги, вышедшей в мягкой обложке и называющейся «Математика, магия и мистика» (издательство «Dover») [60]. Эти главы посвящены всевозможным удивительным геометрическим исчезновениям, в том числе таинственной пропаже лиц и людей! Там описано, в частности, блистательное открытие мага-любителя Пола Карри: путем простой перестановки кусков некой фигуры получается фигура, казалось бы, той же площади, но с большой дырой внутри!

Доктор завершил свой доклад кратким рассказом о числах трибоначчи.Ряд трибоначчи получают, всякий раз суммируя трипредыдущих члена: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81… В обобщенной последовательности Фибоначчи отношение соседних членов А и В (т. е. результат деления А на В) стремится к 0,618… — величине, обратной прославленному «золотому сечению». В последовательности трибоначчи такое отношение стремится к 0,543… Числа тетраначчиполучают путем суммирования четырех предшествующих элементов ряда. Разумеется, можно обобщить этот случай, приняв за nколичество суммируемых элементов. Тогда при стремлении nкбесконечности отношение соседних членов будет по мере увеличения их номеров стремиться к 0,5.

Как я позже узнал от Дональда Кнута, известного ученого-компьютерщика из Стэнфордского университета, подобные ряды впервые были предложены Нараяной Пандитой в 1356 году, в главе 13 его замечательной работы, написанной на санскрите и озаглавленной «Ганита каумуди» («Услады лотосовых вычислений») [61]. Кнут обсуждает ее и дает ссылки на другие работы в четвертом томе своего классического труда «Искусство компьютерного программирования» [62]. Позже эту последовательность заново открыл» четырнадцатилетний Марк Фейнберг. Он написал об этом в «Fibonacci Quarterly» [63]. В 1967 году Марк, уже второкурсник Пенсильванского университета, разбился на мотоцикле.

Доктор Матрикс, когда мы обедали с ним и с Дональдом Кнутом, сообщил нам еще об одной неправдоподобной диковинке, не связанной с числами Фибоначчи. Расположите десять цифр в алфавитномпорядке, и они образуют случайное и весьма скучное с виду число 8 549 176 320. Разделите его на 5. Получится 1 709 835 264 — еще одно десятизначное число, где представлены все десять цифр! Разделите и его на 5. Получится 341 967 052,8 — третье число, где каждая из десяти цифр встречается по одному разу [64]!

Теперь разделим это число на 4. Окажется, что вы снова вернулись к самому первому — «алфавитному» — числу, только в нем теперь появилась десятичная запятая. Понимаете, отчего это произошло? Дважды разделив на 5 и один раз на 4, вы тем самым разделили первое число на 100 [65].