Код. Тайный язык информатики

Такой способ записи отрицательных чисел называется дополнением до десяти. Чтобы преобразовать трехзначное отрицательное число в дополнение до десяти, вычитаем его из 999 и прибавляем 1. Другими словами, дополнение до десяти — это дополнение до девяти плюс один. Например, чтобы найти дополнение числа –255 до десяти, нужно вычесть его из 999, получив 744, а затем прибавить 1, что в результате даст 745.

Вероятно, вы слышали утверждение, что вычитание — это просто прибавление отрицательных чисел. На что вы, вероятно, отвечали: «Да, но числа все равно приходится вычитать». Используя дополнение до десяти, вы вообще ничего не вычитаете. Все сводится к сложению.

Предположим, у вас на счету 143 доллара. Вы выписываете чек на 78 долларов. Это означает, что вы должны прибавить –78 к 143. Дополнение числа –78 до десяти равно 999 – 078 + 1, то есть 922. Таким образом, ваш баланс теперь составляет 143 + 922, или 65 долларов (без учета переполнения). Если после этого вы выпишете чек на 150 долларов, придется прибавить число –150, дополнение которого до десяти равно 850. Итак, прибавим 850 к предыдущему балансу 065 и получим 915 — новый баланс. Это число фактически эквивалентно –85.

В двоичном формате подобная система называется дополнением до двух. Предположим, что мы работаем с 8-битными числами в диапазоне от 00000000 до 11111111, которые соответствуют десятичным числам от 0 до 255. Если вам требуется использовать отрицательные числа, то каждое 8-битное число, начинающееся с 1, фактически будет отрицательным:

Двоичное число

Десятичное число

10000000

–128

10000001

–127

10000010

–126

10000011

–125

…

…

11111101

–3

11111110

–2

11111111

–1

00000000

0

00000001

1

00000010

2

…

…

01111100

124

01111101

125

01111110

126

01111111

127

Теперь вы можете представить числа в диапазоне от –128 до +127. Старший значащий бит (крайний слева) называется знаковым разрядом. Знаковый разряд равен 1 для отрицательных чисел и 0 — для положительных.

Чтобы вычислить дополнение числа до двух, сначала вычислите его дополнение до единицы, а затем прибавьте 1. Это эквивалентно инвертированию всех цифр и прибавлению 1. Например, десятичное число 125 в двоичном формате выражается как 01111101. Чтобы выразить число –125 в виде дополнения до двух, сначала инвертируем цифры 01111101 для получения 10000010, а затем прибавим 1, в результате чего получим 10000011. Вы можете проверить результат по приведенной выше таблице. Для выполнения обратной операции повторите те же действия — инвертируйте все биты и прибавьте 1.

Эта система позволяет выражать положительные и отрицательные числа, не используя знак «–». Кроме того, с ее помощью можно складывать положительные и отрицательные числа, руководствуясь только правилами сложения. Например, сложим двоичные эквиваленты чисел –127 и 124. Это просто, если использовать в качестве шпаргалки предыдущую таблицу.

Результат эквивалентен числу –3 в десятичной системе счисления.

В данном случае нужно следить за условиями переполнения и исчезновения разряда. Такое может произойти, когда в результате сложения получается число больше 127 или меньше –128. Например, вы прибавляете 125 к 125.

Поскольку старший бит равен 1, результат следует интерпретировать в качестве отрицательного числа, которое соответствует –6 в десятичной системе счисления. Что-то подобное происходит и при сложении чисел –125 и –125.

С самого начала мы решили ограничиться 8-битными числами, поэтому необходимо проигнорировать крайнюю левую цифру. Правые восемь бит эквивалентны числу +6.

Вообще, результат сложения положительных и отрицательных чисел не является верным, если знаковые разряды двух операндов одинаковы, а знаковый разряд результата отличается.

Теперь у нас есть два разных способа использования двоичных чисел. Двоичное число может быть со знаком (знаковым) или без знака (беззнаковым). Восьмибитные числа без знака находятся в диапазоне от 0 до 255, 8-битные числа со знаком — в диапазоне от −128 до 127. По самим числам невозможно понять, сопровождаются они знаком или нет. Например, кто-то говорит: «У меня есть 8-битное двоичное число, значение которого равно 10110110. Каков его десятичный эквивалент?» Сначала вы должны спросить: «Это число со знаком или без знака? В зависимости от этого ответом может быть либо число –74, либо 182».

В этом и состоит проблема с битами: они всего лишь нули и единицы, которые ничего не говорят о себе.

Глава 14 Обратная связь и триггеры