Код. Тайный язык информатики

Возможно, вы сразу заметили связь между логическими вентилями и сложением двоичных чисел, когда увидели таблицу для разряда переноса, который возникает в результате сложения двух однобитных чисел.

Вероятно, вы узнали в ней результат работы вентиля И.

Таким образом, вентиль И вычисляет значение разряда переноса при сложении двух двоичных цифр.

Ага! Мы определенно делаем успехи. Наш следующий шаг, похоже, заключается в том, чтобы убедить некоторые реле вести себя так:

Это вторая часть задачи при сложении пары двоичных цифр. Вычислить значение разряда суммы оказывается не так просто, как значение разряда переноса, но мы справимся и с этой сложностью.

Первое, что нужно понять, — это то, что результат работы вентиля ИЛИ близок к тому, что нам нужно, за исключением значения в правом нижнем углу.

Результат работы вентиля И-НЕ также близок к тому, что нам требуется, за исключением значения в верхнем левом углу:

Итак, давайте подключим вентили ИЛИ и И-НЕ к одним и тем же входам.

В следующей таблице представлены выходные сигналы вентилей ИЛИ и И-НЕ и их сравнение с тем, что мы хотим получить от сумматора.

Заметьте, что мы хотим получить значение 1, только если выходные сигналы обоих вентилей ИЛИ и И-НЕ равны 1. Это говорит о том, что эти два выходных сигнала могут являться входными сигналами для вентиля И.

То, что нужно.

Обратите внимание: во всей этой схеме по-прежнему есть только два входа и один выход. Два входа относятся к обоим вентилям ИЛИ и И-НЕ. Выходные сигналы вентилей ИЛИ и И-НЕ подаются на вход вентиля И, и это дает именно тот результат, к которому мы стремимся.

На самом деле у этой схемы есть название: вентиль исключающее ИЛИ (Искл-ИЛИ, оно же — сложение по модулю 2). Она называется так потому, что выход равен 1, если вход A равен 1 или вход B равен 1, но не оба одновременно. Вместо того чтобы рисовать вентили ИЛИ, И-НЕ и И, мы можем использовать обозначение, которым инженеры-электрики показывают вентиль Искл-ИЛИ.

Это обозначение очень похоже на обозначение вентиля ИЛИ, но имеет дополнительную кривую линию со стороны входа.

Вентиль Искл-ИЛИ — это последний логический элемент, который будет подробно описан в этой книге. Иногда в электротехнике используется шестой вентиль, называющийся вентилем совпадения или эквивалентности, поскольку выход равен 1 только при одинаковых сигналах на входе. Вентиль совпадения на выходе действует противоположно вентилю Искл-ИЛИ, поэтому его обозначение аналогично обозначению вентиля Искл-ИЛИ, но дополнено кружком со стороны выхода[17].

Давайте повторим все, что уже знаем. При сложении двух двоичных чисел получается бит суммы и бит переноса.

Для получения этих результатов можно использовать следующие два вентиля.

Разряд суммы двух двоичных чисел задается выходом вентиля Искл-ИЛИ, а разряд переноса — выходом вентиля И, поэтому можно комбинировать вентили И и Искл-ИЛИ для сложения двух двоичных цифр A и B.

Вместо многократного перерисовывания вентилей И и Искл-ИЛИ можно просто нарисовать схему, подобную следующей.

Существует причина, по которой эта схема называется полусумматором. Разумеется, она складывает две двоичные цифры и выдает бит суммы и бит переноса. Однако длина подавляющего большинства двоичных чисел превышает один бит. То, что полусумматор не может сделать, так это прибавить возможный бит переноса, получившийся в результате предыдущей операции сложения. Представьте, что складываем два двоичных числа.

Мы можем использовать полусумматор только для сложения цифр в правом крайнем столбце: 1 плюс 1 равно 0, 1 переносится. В случае со вторым столбцом справа нам, по сути, нужно сложить три двоичные цифры из-за переноса. И это касается всех остальных столбцов. Каждая последующая операция сложения двух двоичных цифр может включать бит переноса из предыдущего столбца.

Для сложения трех двоичных цифр понадобятся два полусумматора и вентиль ИЛИ, соединенные следующим образом.

Чтобы разобраться в этой схеме, начнем со входов A и B первого полусумматора слева. Результат — бит суммы и бит переноса. Эта сумма должна быть добавлена к переносу из предыдущего столбца, поэтому они являются входами для второго полусумматора. Сумма, полученная от второго полусумматора, — окончательная. Два переноса из полусумматоров — входы для вентиля ИЛИ. Может показаться, что здесь нужен второй полусумматор, и такая схема, безусловно, сработала бы. Однако если вы проанализируете все возможности, то обнаружите, что оба переноса из двух полусумматоров никогда не равны 1. Вентиля ИЛИ достаточно для их сложения, поскольку он действует так же, как вентиль Искл-ИЛИ, если оба входных сигнала одновременно не равны 1.

Вместо многократного перерисовывания этой схемы можем просто назвать ее полным сумматором.

В следующей таблице представлены все возможные комбинации входов для полного сумматора и результирующие выходы.