Характер Физических Законов

Предположим, что законы физики допускают формулировку, основанную на принципе минимума. Тогда можно показать, что из любого закона, допускающего перенос экспериментальной установки, т.е. допускающего пространственные переносы, вытекает закон сохранения количества движения. Между законами симметрии и законами сохранения имеется глубокая связь, но эта связь покоится на принципе минимума. В нашей второй лекции мы говорили о возможности сформулировать физические законы, утверждая, что частица переходит из одного положения в другое за заданный промежуток времени, пробуя различные пути. Существует определенная величина, которую, может быть не очень удачно, называют действием. Если вычислить действие для различных путей перехода, то окажется, что для реального пути, выбранного частицей, это действие всегда меньше, чем для любого другого. Поэтому при новом способе формулировки законов природы мы утверждаем, что для реального пути действие, вычисляемое по определенной математической формуле, всегда меньше, чем для любых других путей.

Но вместо того, чтобы говорить о минимуме чего-то, можно сказать, что если путь немножко изменить, то сначала почти ничего не изменится. Представьте себе, что вы гуляете по холмам (по гладким, конечно, поскольку все математические выражения, о которых идет речь, гладкие) и приходите на самое низкое место. Тогда если вы чуть-чуть шагнете в сторону, высота вашего места почти не изменится. Если вы находитесь в самой низкой или самой высокой точке, один шаг не играет никакой роли, в первом приближении он не оказывает никакого влияния на вашу высоту над уровнем моря, - ведь это не то, что на крутом склоне, где вы за один шаг заметно спускаетесь или поднимаетесь в зависимости от того, в каком направлении вы идете. Теперь вам, наверное, понятно, почему один шаг из самой низкой точки не играет роли. Если бы это было не так, то шаг в другом направлении означал бы, что вы спускаетесь. Но так как вы находились перед этим в самой низкой точке, и, следовательно, спуститься ниже уже нельзя, то в качестве первого приближения можно считать, что один шаг не играет никакой роли.

Поэтому мы знаем, что если путь немножко изменить, то это в первом приближении не изменит действия. Нарисуем какой-нибудь путь, соединяющий точки Аи В, и другой возможный путь следующего вида (см. рис. 27). Сначала мы перепрыгиваем сразу в близлежащую точку С,а затем движемся точно по такому же пути, как и раньше, до другой точки D,отстоящей от Вна то же расстояние, что и Сот А,поскольку оба пути абсолютно идентичны. Но, как мы только что установили, законы физики таковы, что общая величина действия при движении по пути АСDВв первом приближении совпадает с действием при движении по первоначальному пути А В- в силу принципа минимума, если АВ- реальный путь.

Но это еще не все. Действие при движении по исходному пути от Aдо Вдолжно совпадать с действием при движении от Сдо A, если мир не меняется при пространственных переносах, так как разница между этими двумя путями лишь в пространственном сдвиге. Поэтому если принцип симметрии относительно пространственных переносов справедлив, то действие при движении по пути от Адо Вдолжно быть таким же, как и на пути от Сдо D. Однако для настоящего движения действие для сложной траектории ACDBпочти в точности совпадает с действием для траектории АВи, следовательно, с действием для одной своей части, от Сдо D. Но действие для сложного пути представляет собой сумму трех частей: действие для движения от Aдо С, от Сдо Dи от Dдо В. Поэтому, вычитая равное из равного, мы увидим, что вклад от движения от Адо Си от Dдо Вдолжен в сумме давать нуль.

Но при движении по одному из этих отрезков мы движемся в одну сторону, а при движении по другому - в другую. Если теперь взять действие при движении от Адо Си рассматривать его как эффект движения в одном направлении, а действие при движении от D к В- как действие при движении от Вк D, но с другим знаком из-за противоположного направления движения, то мы увидим, что для обеспечения нужного равенства необходимо, чтобы действие при движении из Ав Ссовпадало с действием при движении из Вв D.Но это - изменение действия при маленьком шаге из Вв D. Эта величина - изменение действия при маленьком шаге вправо - одна и та же и в начале (от Ак С) и в конце (от Вк D). Значит, у нас имеется величина, которая не меняется со временем, если только справедлив принцип минимума и выполняется принцип симметрии относительно пространственных переносов.