Хаос и структура

3. Множество как целое равно и каждой своей части, и сумме всех своих частей, потому что целое состоит только из своих частей, и больше не из чего, и данные части составляют именно это целое, и больше ничего.

Только диалектика может понять и совместить эти взаимно противоречащие утверждения.

b) Хотя внимательный читатель и вполне понимает, что указанные положения относительно множеств обладают чисто логическим характером, тем не менее во избежание недоразумений надо сказать, что в математике самый термин «множество всех частей» имеет совсем другой смысл, а именно тут имеются в виду все части независимо от их взаимного перекрытия, гак что мощность множества всех частей множества всегда больше мощности этого последнего (напр., мощность множества всех частей счетного множества есть даже мощность континуума). Однако и без этого теория множеств не брезгует выражениями, указывающими, несомненно, на антиномию целого и части.

Множество называется частью множества , если всякий элемент принадлежит к . При этом если часть , но не часть , то  — правильная часть ; если же часть тих часть , то  — неправильная часть . Относительно правильной части вопроса не возникает. Но что такое «неправильная» часть? Ведь, в сущности говоря, когда и являются одно в отношении другого частями, то это возможно только в одном случае, а именно когда они эквивалентны, т. е. попросту когда и суть разные названия для одного и того же множества, так как все их элементы в этом случае совершенно одинаковы. Но тогда под «неправильной частью» множества можно понимать, очевидно, только совокупность всех неперекрывающих одна другую частей, из которых и состоит данное множество. Утверждая, что все элементы принадлежат , мы выделяем из некоторую определенную часть, соответствующую элементам , но когда мы к этому прибавляем, что также и все элементы принадлежат к , то мы из вырезаем определенную часть соответственно элементам , т. е. в результате мы начинаем эти вырезанные из и части считать всеми частями и , и , вполне соответственными входящим в это единое множество элементам.

Все это рассуждение тотчас же получает острейший диалектический смысл, как только мы его зафиксируем в таком тезисе, непосредственно вытекающем из самого рассуждения: всякое множество есть часть самого себя по одному тому только, что всякий его элемент есть именно его элемент. Тогда появляется необходимость утверждать и то, что всякое множество меньше себя самого, как, правда, и то, что всякое множество больше себя самого, ибо в этом суждении и «больше», и «меньше» и субъектом, и предикатом является одно и то же множество, и можно сколько угодно взаимно их переставлять и получать каждый раз утверждение, обратное предыдущему. Однако единственный здравый смысл этой антиномики заключается в выше развитой антиномике целого и всего, или целого и частей.

с) Но даже если брать термин «множество всех частей» в специфическом теоретико–множественном значении, то и тут дело не обойдется без антиномии, хотя формулировать ее можно иначе. А именно, «целое» и «часть» могут находиться в диалектическом противоречии только тогда, когда они рассматриваются в качестве чистых понятий (как это и сделано у нас выше), т. е. когда эти понятия сами являются самостоятельным субъектом со своей собственной судьбой, или самостоятельным организмом, а не обладают только лишь инструментальным характером, не оказываются только лишь средством, которое употребляет какой–то другой субъект («человек») для целей осмысления чуждого инобытия. Как чистое инобытие смысла есть его становление, т. е. его бесконечное распыление, так чистый смысл есть восстановление инобытия, т. е. его бесконечная собранность. Так «движение» есть инобытие «покоя». Но если движение совершается с бесконечной скоростью, то движущееся сразу находится во всех точках бесконечности; и так как дальше бесконечности уже нет никаких других точек (поскольку всех их она уже вместила в себе), то такое движение с бесконечной скоростью вполне тождественно с покоем. Поэтому диалектика отличается от прочих способов рассмотрения понятий тем, что она берет эти понятия как бесконечные сгустки бытия, как пределы. А в математике только там воочию видна диалектика, где идет речь о бесконечности, так как конечные величины хотя и подчинены диалектической антиномике, но последняя в них не выявлена непосредственно, а только с необходимостью предполагается при достаточно систематическом подходе.