Хаос и структура

c) Диалектическое место учения о функциях становится яснее, если мы употребим соответствующие термины. Арифметика во главе с натуральным рядом чисел, разумеется, играет роль самого основания всех математических представлений и действий. Можно сказать, что все действия в математике есть не что иное, как усложненный счет. Что бы мы ни делали в математике, мы всегда так или иначе считаем, занимаемся счетом: все действия суть или просто счет, или модификация счета. Поэтому будем вполне правы, если ту область чистого числа в себе, которая состоит из непосредственного значения чисел, назовем сущностью числа. Действительно, все, что есть в математике, имеет своей сущностью непосредственное число и непосредственный счет. По сравнению с этим как нужно квалифицировать учение о функциях? Функция есть совокупность всех действий, которые необходимо произвести над аргументом, причем числовое значение самого аргумента неизвестно и неинтересно. Это значит, что в функции мы имеем инобытийную судьбу аргумента в условиях неданности самого аргумента, т. е. неданности самой сущности того, судьбу чего мы преображаем. Такую конструкцию удобно назвать явлением. Явление противостоит сущности как нечто само по себе несущественное. Сущность есть смысл; явление же, взятое само по себе, есть нечто алогичное по сравнению с сущностью. В явлении (опять–таки, подчеркиваем, если его брать как таковое, т. е. как противоположность сущности) нет самой сущности (иначе оно и не было бы противоположностью сущности); в нем сущность неизвестна, она есть какой–то неразгаданный х. Можно только наблюдать судьбу этого т. е. что творится с ним, независимо от его подлинного смысла и значения. Такое инобытийное конструирование сущности есть явление. И учение о функциях в противоположность непосредственному арифметическому значению чисел есть учение о числе как явлении. Арифметика — учение о сущности числа; алгебра и анализ есть учение о явлении числа, о внешнем (и потому не дающем внутренней значимости) явлении числа.

5. Однако категории эти («сущность», «явление» и, еще дальше, «действительность») суть общедиалектические категории, повторяющиеся решительно во всякой специальной области знания и науки. Кроме того, учение о функции в связи с этими категориями также было намечено нами в предыдущем изложении (§ 76). Сейчас необходимо приступить к более расчлененной фиксации математического разделения, чтобы эти категории получили окончательную конкретизацию.

Антитеза непосредственного и опосредствованного числового бытия остается в математике основной. Однако есть еще одна антитеза, которая объединяется с нею, и из планомерного объединения с нею и рождается обычное разделение математики в данной области. Именно, в сфере самой непосредственности возможно мыслить свое инобытие, подобно тому как мы мыслим его в отношении всей непосредственности числа как таковой. Такое инобытие превращает устойчивое тело в становящееся, или, выражаясь математически, превращает постоянную величину в переменную. Поэтому функция, которая есть в сравнении с непосредственным числом бытие опосредствованное, может быть как функцией постоянных величин, так и функцией переменных величин. Точнее, однако, надо говорить о бытии и о становлении величин. Алгебра относится как раз к учению о функциях постоянных величин, в то время как анализ преимущественно занят функциями переменных — точнее, становящихся — величин. Как функция в отношении непосредственной значимости числа, так и становящаяся величина в отношении постоянной есть «явление», поставленное в связь с «сущностью», есть, стало быть, сущность и явление и за пределами непосредственного числа.

6. а) Остается, следовательно, третья и последняя диалектическая ступень в области чистого числа в себе. Сущность и явление синтезируются в нечто третье, в категорию, которую можно называть по–разному и которая в разных системах диалектики носит равные названия. Назовем ее по нашему обыкновению (ср. § 9) действительностью. Действительность есть сразу и сущность, и явление, их абсолютное неразличимое тождество и субстанциальное слияние. Возникает вопрос, что же в математике является действительностью числа, если сущность его арифметична, а явление алгебраично–аналитично?

b) Надо подыскать такую категорию, которая бы давала инобытийно–числовую обработку арифметической величины и которая, с другой стороны, превращала бы инобытийно–числовую опосредствованность в числовым образом непосредственно данную структуру. Такой категорией является категория вектора. Вектор математически определяется как величина, определенным образом направленная, в отличие от скалярной величины, которая определена только количественно и не содержит в себе никакого момента направленности. Вдумываясь в это понятие, мы в нем как раз и находим искомый нами синтез сущности и явления.