Хаос и структура

Основной интуицией для этой последней является линия или плоскость и составленность того или другого из точек. Если наша вероятность такова, что число возможных случаев равно числу возможных положений точки на прямой или на плоскости (или числу положений прямой в пространстве и т. п.), то такая вероятность будет непрерывной. Если бы мы стали спрашивать, какова вероятность вообще положения точки на прямой Л В, то эта задача ввиду непрерывности данной прямой была бы вполне неопределенна. Но мы можем на данной прямой взять какой–нибудь отрезок и сравнивать вероятность положения точки на с длиной <1 _CD> и <1_AB> Тогда задача получает определенность и мы сможем выставить такой принцип: вероятность того, чтобы точка оказалась на определенном отрезке прямой А В, пропорциональна длине этого отрезка. Отсюда следствие: если во что бы то ни стало находится на А В, т.е. вероятность этого ее нахождения равна единице, то вероятность ее нахождения на (CD) равна<>

Этот принцип непрерывной вероятности дает возможность решать массу задач, например, хотя бы знаменитую задачу о попадании иглы в ту или иную параллель [линий], начерченных на горизонтальной плоскости (задача эта была решена еще Бюффоном). Большинство задач подобного рода требует, однако, применения методов интегрального исчисления.

§ 62. Взаимодействие аксиом едино–раздельности и становления.

1. Достигнутая нами ступень числового становления имеет значение не только сама по себе, но она получает новое глубокое значение и в смысле взаимоотношения с предыдущей группой аксиом. Дело в том, что отвлеченно–диалектическое становление, математически специфицируемое в категорию непрерывности, будучи приложено к аксиомам предыдущей группы, впервые делает возможной разнообразную их модификацию — соответственно своей принципиальной алогичности, а предыдущие аксиомы едино–раздельности, будучи приложены к чистому алогизму непрерывности, впервые делают возможным получение различных новых оформлений уже из этого алогического материала непрерывности.

Остановимся сначала на воздействии, получаемом от аксиом непрерывности аксиомами едино–раздельности в арифметике.

2. а) Что касается арифметических аксиом едино–раздельности, то их видоизменение в зависимости от категории становления выясняется тотчас же, как мы вникнем в сущность становления, инобытийного, как мы знаем, в отношении идеального. Становление потому и есть становление, что оно есть выход смысла наружу, самоотчуждение смысла. Его мы поэтому называем еще алогическим. Алогичность в том и заключается, что она вносит вне–логический принцип. Так, например, идеальная структура логически предполагает категории различия, тождества, движения и пр. вида <…> привходит алогический принцип, то он может на любом моменте приостановить логическое следование категорий и, следовательно, взять их в какой угодно комбинации, в какой угодно несвязанности. С другой стороны, только если целиком проводить принцип становления, или непрерывности, можно поручиться, что все логически выведенные категории действительно имеют реальный смысл. Ибо может оказаться, что логически–то мы вывели их правильно, а реально они осуществляются частично и враздробь. Итак, категория непрерывности, примененная к категориям едино–раздельности, впервые ставит вопрос об их реальном и совокупном действии, впервые исследует формы осуществления всех категорий, из которых диалектически выросло число.

b) Имея это в виду, можно исследовать полученные нами до сих пор аксиомы. Скажем вообще, что результатом этого исследования должно явиться учение об арифметических операциях, действиях. Больше всего это понятно на аксиоме самотождественного различия (§ 25). Если эта аксиома гласит, что из всяких а и b составляется некое вполне определенное с, то в этом смысле она еще не была учением об арифметической операции сложения. Эта аксиома, если ее брать в строгом и собственном смысле слова, гласит только, что всякое число есть некая составленность из каких–нибудь единиц–элементов. Тут ставилось ударение на самой этой составленности, на ее результате, на с, а не на а + b. Чтобы сосредоточиться не на результате составленности, а на самом процессе этого составления, нужно мыслить себе некий алогический фон, на котором и развертывалась бы эта картина процесса составления, т. е. необходимо выдвижение на первый план момента становления. Поставивши акцент именно на становлении с, на самый процесс складывания а + b_у мы и получаем категорию арифметического сложения (и, стало быть, вычитания).