Кантор. Бесконечность в математике.

Суть его в том, что любая фигура, даже если она полностью ограничена кривыми, может быть разделена на два фрагмента или более (их количество всегда конечное), необязательно равные между собой, так, что каждый из них ограничивается отрезком (см. рисунок 9).

Задача вычислить площадь фигуры сводится, таким образом, к вычислению площадей каждого из этих фрагментов. Представим, что отрезок, частично ограничивающий фигуру, который мы для удобства назовем основой, является частью числовой оси, ограниченной числами а и b. Предположим, что мы знаем математическую формулу, которая позволяет нам вычислить длину отрезка, соединяющего точку X с кривой, если на основе задана точках. Назовем эту длину у (см. рисунок 10).

Метод заключается в том, чтобы представить фигуру как образованную бесконечными перпендикулярными отрезками, соединяющими основу с кривой (на каждое число х приходится один отрезок). Таким образом, площадь фигуры равна сумме площадей этих отрезков. И все же эта мысль отсылает нас к парадоксу Аристотеля.

Как математическая точка обладает длиной, равной нулю, так и математический отрезок (у которого есть длина, но нет ширины и глубины) обладает площадью, которая тоже равна нулю. Следовательно, если мы представим площадь фигуры как сумму площадей отрезков, она будет равна 0 + 0 + 0 +... = 0.

Нам не удастся заменить отрезки прямоугольниками (площадь которых больше нуля), потому что в этом случае получится ситуация, похожая на нашу попытку заполнить окружность прямоугольниками: всегда будет оставаться незаполненная прямоугольниками часть (рисунок И).

РИС. 9

Мы можем вычислить площадь каждой из двух правых фигур, частично ограниченных отрезком.

Чтобы выйти из этого тупика, Ньютон и Лейбниц ввели понятия бесконечно малых и бесконечно больших, оказывавшие огромное влияние на исчисление до второй половины XIX века. Но они настолько неопределенны, что их очень сложно, если не невозможно, понять. Представим себе каждый перпендикулярный отрезок, проведенный к основанию, не как математический, а как прямоугольник с бесконечно малым основанием dx (см. рисунок 12). Это обозначение использовал Лейбниц, и оно до сих пор применяется в исчислении. Получается, что фигура — это не сумма отрезков, а сумма прямоугольников с бесконечно малым основанием. Замена отрезков на прямоугольники имеет двойную пользу. С одной стороны, поскольку основание каждого прямоугольника — это бесконечно малый отрезок (а не точка), то его площадь больше нуля, а значит, мы избегаем парадокса. С другой — поскольку основание прямоугольника — это бесконечно малая величина, ими можно заполнить всю фигуру так, чтобы не осталось пустых областей. Пусть основание каждого прямоугольника — dx, высота — у, а площадь — ydx. Чтобы вычислить площадь фигуры, теоретически мы должны были бы сложить все ydx для X между а и Ь. Лейбниц записывал это так:

_b

∫ydx.

^a

Значок слева — деформированная буква S (первая буква латинского слова «сумма»). Этот символ называется интегралом. Он используется при нахождении площади фигуры, ограниченной кривой и отрезком (помимо прочих многочисленных применений в исчислении). Как метод Евдокса позволил вывести формулу вычисления площади окружности, так и этот метод, по которому фигуры представляются как совокупность прямоугольников с бесконечно малым основанием, позволяет найти, например, формулу площади эллипса или любой другой фигуры, ограниченной кривыми.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ

Тем не менее изложенные выше рассуждения вызывают некоторые сомнения. Что значит: некий отрезок, меньше любого другого, который мы можем себе представить? Разумеется, это значит, что меньшего отрезка просто не существует.

Но если мы разделим его надвое, длина полученного отрезка будет меньше.

Выходит, что понятие бесконечно малых и бесконечно больших противоречит само себе, и необходимо отметить, что и Ньютон, и Лейбниц прекрасно это осознавали. Так, в работе 1680 года «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления» Лейбниц приводит формулы, основанные на бесконечно больших и бесконечно малых величинах, но при этом не упоминает сами понятия. Великие швейцарские математики братья Иоганн и Якоб Бернулли (1667-1748 и 1654-1705) назвали сочинение Лейбница «скорее загадкой, чем объяснением». Ньютон же впоследствии оставил идею бесконечно малых, заменив их не менее запутанным понятием «флюксий».

РИС. 10

РИС. 11