Кант

Итак, всякая математика, по Канту, имеет приложение только к области явлений, а математика чистая, т. е. неприкладная, — только к априорно-созерцательным формам, будучи ими же порождена. Кант искажает подлинный характер математических знаний, поскольку отрицает, что математические построения отражают свойства объективной реальности. Конечно, он прав, полагая, что собственно геометрическое пространство реально вне нас не существует, а абсолютное пространство Ньютона не реально. Но он не смог разрешить очень трудной задачи выяснения статуса математических абстракций и их отношения к действительности. Хотя исторически арифметика и геометрия выросли из практического опыта древних, однако исходными пунктами при аксиоматическом построении математических дисциплин оказываются не индуктивные обобщения и во многих случаях даже не идеализирующие абстракции от этих обобщений, но так называемые чистые идеальные конструкты. Правда, у Канта нет ни малейших сомнений в единственности и абсолютной универсальности геометрии Эвклида. Мы знаем ныне, что ее аксиомы и постулаты в совокупности представляют собой гносеологически еще более сложное образование, ибо они гибридный результат идеализирующего абстрагирования и идеального конструирования. Здесь отражение происходит через приблизительную интерпретацию (именно это имел в виду Энгельс, когда он писал о так называемых прообразах дифференциального и интегрального исчисления в природе). Только физическая интерпретация, проверяемая затем экспериментами, в состоянии решить, какая из известных ныне геометрических систем истинна, т. е. наиболее близка к свойствам реального (а не теоретического) пространства. Добавим, что в целом структура математики, в изображении ее Кантом, включала в себя не только чувственную интуицию и синтезирующую конструкцию, но и аналитичность. Эти три компонента как бы возродились порознь в интуиционистском, конструктивистском и чисто аналитическом направлениях философии математики XX в. Но каждое из них односторонне.

Проблема источников Кантова априоризма в целом гораздо шире содержания трансцендентальной эстетики, а с точки зрения теории познания марксизма она не сводится только к вопросу о чистых теоретических конструктах (конструкциях), поскольку касается также не-историчности истолкования Кантом прошлого опыта человечества, его мнений о тщетности поисков абсолютного знания и утверждений о необходимости созерцания в математическом мышлении. Но подорвало ли в принципе открытие Лобачевским неэвклидовых геометрий учение об априорности пространства, показав, что тезис об априорной общеобязательности геометрии Эвклида как единственно возможного для всякого субъекта восприятия чувственных феноменов не имеет силы?

Лобачевский не отрицал эмпирической предпочтительности геометрии Эвклида как геометрии обычного восприятия и привычного для нас макромира, и эту-то «привилегированность» и закрепленную в итоге тысячелетий «очевидность» эвклидовского видения пространства Кант как раз и пытался объяснить посредством априоризма. В связи с учением Лейбница о возможных мирах молодой философ в своей студенческой работе «Мысли об истинной оценке живых сил» (1746) допускал, что «возможны… многообразные виды пространства» (vielerlei Raumsarten) (11, т. 1, стр. 72). Конечно, зависимость выбора между различными неэвклидовыми геометриями от успеха физических интерпретаций наносит по априоризму «критического» Канта сильный удар. Однако сам факт создания подобных геометрий не разрушает априоризма, а лишь побуждает к его модификациям: ведь метод идеальных конструктов в современной математике и освобождение абстрактных геометрических построений наших дней от остатков былой «воззрительности» в первом приближении совместим с априористской иллюзией. Кант допустил, что «некоторые существа способны созерцать те же предметы под другой формой…», чем люди. Значит, кроме априоризма и конвенционализма идеализм в математике способен апеллировать и к иным гносеологическим построениям.

5. Категории трансцендентальной аналитики

Трансцендентальная логика состоит из двух частей. Первая из них называется «трансцендентальной аналитикой». Она рассматривает научное рациональное познание, оперирующее формальной логикой и гносеологическими категориями. Вторая часть именуется трансцендентальной «диалектикой» и занимается проблемами собственно философского познания. Первая часть трансцендентальной логики должна ответить на вопрос, как возможно «чистое», т. е. теоретическое, естествознание, а вторая — возможна ли «метафизика» как наука вообще.

Упорядочение хаоса ощущений формами наглядного представления — лишь предпосылка для дальнейшего процесса организации чувственного материала познания в структуры, и оно совершается аналитическими средствами трансцендентальной логики.