Как же называется эта книга

Другое важное свойство дизъюнкции "или... , или" состоит в следующем. Рассмотрим высказывание p или q" (так мы условимся для краткости записывать сложное высказывание "или p, или q"). Предположим, что оно истинно. Тогда если p ложно, то q должно быть истинно (так как по крайней мере одно из высказываний должно быть истинным, то если p ложно, то q должно быть истинным). Предположим, что высказывание "Либо дождик, либо снег" истинно, но неверно, что дождь идет. Тогда должно быть истинно, что идет снег.

Воспользуемся свойствами дизъюнкции и применим их к решению задачи. A высказывает сложное утверждение типа дизъюнкции:

"Или я лжец, или B - рыцарь". Предположим, что A - лжец. Тогда высказанное им утверждение ложно. "Перевести" это можно так: неверно, что A - лжец и что B - рыцарь.

Таким образом, если бы A был лжецом, то из этого следовало бы, что он не лжец, то есть мы пришли бы к противоречию:

Отсюда мы заключаем, что A должен быть рыцарем.

Итак, мы установили, что A - рыцарь. Следовательно, его высказывание о том, что выполняется по крайней мере одна из двух альтернатив (1) A лжец, 2) B - рыцарь), истинно. А поскольку первая альтернатива (А лжец) ложна, то должна выполняться вторая альтернатива, то есть B - рыцарь. Таким образом, установлено, что A и B - оба рыцари.

30. Единственное здравое заключение, к которому можно прийти, состоит в том, что автор этой задачи не рыцарь.

Действительно, ни рыцарь, ни лжец не могли бы высказать утверждения, приведенного в задаче. Действительно, предположим, что A - рыцарь. Тогда высказывание "А - лжец или два плюс два - пять" ложно, так как оба образующих его высказывания ("А - лжец" и "два плюс два - пять") ложны. Но это означало бы, что рыцарь A высказал ложное утверждение, что невозможно. С другой стороны, если бы A был лжецом, то сложное высказывание "А - лжец или два плюс два - пять" было бы истинным, так как первое из входящих в него простых высказываний "А - лжец" истинно. Но тогда лжец A высказал бы истинное утверждение, что также невозможно.

Итак, условия задачи (так же как и условия задачи о всесокрушающем пушечном ядре и несокрушимом столбе) противоречивы. Следовательно, я, автор задачи, либо допустил ошибку, либо солгал. Смею уверить вас, что ошибки я не допускал. Отсюда вы с полным основанием приходите к выводу, что я не рыцарь.

31. Прежде всего заметим, что A должен быть лжецом.

Действительно, если бы A был рыцарем, то из его высказывания следовало бы, что все трое лжецы. Но тогда A (по предположению, рыцарь) оказался бы лжецом, что невозможно. Следовательно, A - лжец. Но тогда его высказывание ложно и по крайней мере один из трех островитян A, B и C рыцарь.

Предположим теперь, что B - лжец. Тогда A и B - оба лжецы, поэтому C должен быть рыцарем (так как по крайней мере один из трех островитян рыцарь). Это означает, что ровно один из трех островитян рыцарь, и, следовательно, высказывание B истинно, но это невозможно, так как любое высказывание лжеца не истинно. Отсюда мы заключаем, что B должен быть рыцарем.

Итак, мы установили, что A - лжец, а B - рыцарь. Так как B рыцарь, то его высказывание истинно, поэтому ровно один из трех островитян - рыцарь. Им должен быть B, следовательно, C должен быть лжецом. Итак, A - -- лжец, B - рыцарь и C - лжец.

32. Определить, кто такой B, мы не в силах, но можно доказать, что C - -- рыцарь.

По тем же причинам, что и в предыдущей задаче, A должен быть лжецом. Следовательно, по крайней мере один из островитян B и C должен быть рыцарем. Выясним, кто такой B, Он может быть либо рыцарем, либо лжецом. Предположим, что он рыцарь. Тогда его высказывание о том, что только один из островитян A и B - лжец, истинно. Единственным лжецом должен быть A, поэтому C может быть только рыцарем. Таким образом, если B - рыцарь, то и C - рыцарь. С другой стороны, если B - лжец, то C должен быть рыцарем, так как все трое островитян, как мы уже знаем, не могут быть рыцарями. Следовательно, C должен быть рыцарем в любом случае.

33. Прежде всего заметим, что A не может быть рыцарем.

Действительно, если бы A был рыцарем, то его высказывание было бы истинным, а в нем утверждается, что A - лжец.

Следовательно, A - лжец, и его высказывание ложно. Если бы B был рыцарем, то высказывание A было бы истинным.

Следовательно, B также лжец. Итак, A и B - лжецы.

34. Предположим, что A - рыцарь. Тогда его высказывание о том, что B - лжец, должно быть истинным, в силу чего B должен быть лжецом. Но тогда высказывание B о том, что A и C однотипны, ложно, поэтому A и C не однотипны.

Следовательно, C - лжец (так как A - рыцарь). Таким образом, если A - -- рыцарь, то C - лжец.

С другой стороны, предположим, что A - лжец. Тогда его высказывание о том, что B - лжец, ложно, в силу чего B - рыцарь. Следовательно, высказывание B о том, что A и C однотипны, истинно. Отсюда мы заключаем, что C - рыцарь (так как A - рыцарь).

Итак, мы доказали, что независимо от того, кто такой A - рыцарь или лжец, C должен быть лжецом. Следовательно, C - лжец.