Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дѣтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школѣ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дѣтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.

24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является слѣдующій. Множитель замѣняется новымъ числомъ, которое болыпе его въ нѣсколько разъ или на нѣсколько единицъ, и притомъ гораздо удобнѣе для дѣйствія, чѣмъ самъ данный множитель. Напримѣръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вмѣсто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число раздѣлимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имѣютъ такого большого примѣненія на практикѣ, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.

25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, чѣмъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опредѣляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ дѣйствія. Въ способѣ «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу всѣ, какіе только могутъ оказаться, чтобы затѣмъ къ десяткамъ болѣе не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки всѣ, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ послѣдовательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.

Возьмемъ примѣръ сперва двузначный: 56×97 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 6×7 = 42, слѣд. простыхъ единицъ въ отвѣтѣ будетъ двѣ, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Рѣшаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кромѣ того, нѣсколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случаѣ сотни и тысячи дадутъ по крайней мѣрѣ сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 5×7 — 35, 9×6 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока замѣтимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ примѣрѣ онѣ могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отвѣтѣ и получаемъ: 56×97 = 5432. «Крестикъ» мы здѣсь примѣняли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случаѣ мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все дѣйствіе можно изобразить такой фигурой:

5 6

X

9 7

————

5432

Чтобы читателю былъ яснѣе виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи примѣръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, слѣдовательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііредѣляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли порѣже и между ними были свободные промежутки, э зачѣмъ,—это будетъ понятно далѣе.