Как не ошибаться. Сила математического мышления

Проверка значимости не обеспечивает получение информации относительно психологических феноменов, которые обычно относят на ее счет… Применение [этого метода] связано с большими неприятностями. …Заявить об этом «во всеуслышание» равносильно тому, чтобы взять на себя роль ребенка, заметившего в простоте, что король-то голый{86}.

И сегодня, почти пятьдесят лет спустя, король по-прежнему у власти и все так же щеголяет в чем мать родила, несмотря на то что все больше шумных детей разносят весть о его наготе.

Незначительность значимости

Что не так со значимостью? Прежде всего само слово. У математической науки вообще забавные отношения с языком. Статьи о математических исследованиях, порой к большому удивлению людей непосвященных, состоят далеко не из одних только чисел и символов; математические выкладки состоят из слов. Однако объекты, на которые мы ссылаемся, зачастую представляют собой сущности, о которых ничего не сказано в словаре Merriam – Webster[105]. Описание нового требует новой лексики. Существует два способа создать такой словарь. Можно придумать совершенно новые слова, как мы обычно поступаем, когда говорим о когомологиях, сизигиях, монодромии и так далее, однако это делает нашу работу непривлекательной и недоступной для понимания. Гораздо чаще мы приспосабливаем существующие слова для собственных целей[106], опираясь на определенное сходство между математическим объектом, который необходимо описать, и тем или иным элементом так называемого реального мира. Таким образом, для математика слово группа действительно означает группу объектов, но это группа особого типа, например группа целых чисел или группа симметрий геометрической фигуры. Под такой группой мы подразумеваем не просто произвольную совокупность объектов, как в случае ОПЕК или Abba[107], а совокупность объектов, обладающих таким свойством, что любую пару объектов данной группы можно скомбинировать, получив третий объект, как в случае, когда пару чисел можно сложить или пару симметрий выполнить одну за другой[108]. То же самое касается схем, расслоений, колец и пакетов – математических объектов, которые имеют лишь поверхностное отношение к тем вещам, которые обозначают эти слова в обычной жизни. Иногда слова, которые мы выбираем, имеют пасторальный оттенок: современная алгебраическая геометрия, например, имеет дело с полями, пучками, ядрами и слоями[109]. Порой терминология носит более агрессивный характер: нередко говорят, что оператор что-то разрушает или, если использовать еще более сильное выражение, уничтожает. Однажды в аэропорту у меня сложилась довольно неловкая ситуация из-за коллеги, сделавшего совершенно безобидное в математическом смысле замечание: мол, нужно было бы в какой-то момент взорвать плоскость[110].

Итак, поговорим о значимости. В обыденном языке это слово означает нечто важное или имеющее большое значение. Однако тест на оценку значимости, который используют ученые, не измеряет степень важности. Когда мы оцениваем воздействие нового лекарственного препарата, нулевая гипотеза гласит, что такого воздействия вообще нет; следовательно, доказать несостоятельность нулевой гипотезы – значит просто прийти к выводу, что воздействие лекарственного препарата отлично от нуля. Однако это воздействие все-таки может быть очень маленьким – настолько маленьким, что препарат не является эффективным в любом смысле, который обычный человек, не имеющий отношения к математике, назвал бы значимым.

Такая лексическая двойственность термина «значимость» не только делает математические работы трудными для чтения, но и влечет за собой другие последствия. Британский комитет по безопасности лекарственных средств (Committee on Safety of Medicines; далее по тексту – CSM) 18 октября 1995 года разослал по всей Великобритании – 200 тысячам врачей и медицинских работников – информационное письмо с тревожным предупреждением относительно некоторых марок оральных контрацептивов «третьего поколения». В этом письме было сказано следующее: «Получены новые доказательства, что в случае приема некоторых лекарственных препаратов вероятность закупорки вен возрастает примерно в два раза по сравнению с другими»{87}. С венозным тромбозом шутки плохи. Во-первых, образуется тромб, препятствующий циркуляции крови по венам; во-вторых, когда тромб отрывается, кровоток может перенести его в легочную артерию; в-третьих, возникает угроза легочной эмболии, которая в итоге может вас убить.