Как не ошибаться. Сила математического мышления

Эта борьба нигде не проявляется более отчетливо, чем в планиметрии[59]. Здесь находится последний бастион обучения построению доказательств, которые лежат в основе преподавания математики. Многие профессиональные математики считают доказательство последним оплотом «истинной математики». Однако не совсем понятно, в какой степени мы на самом деле учим красоте, силе и неожиданности доказательства в процессе преподавания геометрии. Учебный курс легко может превратиться в рутинную отработку таких бесполезных и неинтересных задач, как вычисление тридцати определенных интегралов. Это настолько серьезная ситуация, что лауреат Филдсовской премии Дэвид Мамфорд предположил: мы можем полностью отказаться от планиметрии, заменив ее начальным курсом программирования. Компьютерная программа имеет много общего с геометрическим доказательством: и то и другое требует, чтобы студент собрал один за другим воедино ряд простых элементов, выбранных из небольшой совокупности вариантов, так, чтобы в целом сформированная последовательность выполняла ту или иную значимую задачу.

Я не настолько радикален. Я вообще не отношусь к числу радикалов. Хотя это и может вызвать недовольство сторонников обоих подходов, я считаю, что мы должны преподавать математику, в которой высоко ценятся как точные ответы, так и интеллектуальная аппроксимация; математику, требующую как способности свободно применять существующие алгоритмы, так и простого здравого смысла, помогающего находить спонтанные решения; математику, в которой научная строгость сочетается с ощущением игры. Откровенно говоря, если всего этого нет, мы вообще преподаем не математику.

Трудная задача, но именно этим занимаются лучшие преподаватели математики, пока наверху среди администраторов бушуют математические войны.

И снова об ожирении – этой катастрофе современности

Так сколько американцев будут страдать ожирением к 2048 году? Вы уже догадываетесь, как Юфа Ванг и другие авторы статьи, опубликованной в журнале Obesity, построили свою проекцию. Национальная программа проверки здоровья и питания населения (National Health and Nutrition Examination Study, далее везде – NHANES) отслеживает данные о состоянии здоровья большой репрезентативной выборки граждан, охватывающие самые разные аспекты: от потери слуха до передачи инфекций половым путем. В частности, NHANES предоставляет весьма достоверные данные о доле американцев, имеющих избыточный вес; его в данном случае можно определить как вес, при котором индекс массы тела (далее везде – ИМТ)[60] равен 25 и более[61]. Нет никаких сомнений в том, что за последние десятилетия распространенность избыточного веса увеличилась. В начале 1970-х годов чуть менее половины американцев имели столь высокий ИМТ. В начале 1990-х этот показатель возрос до 60 %, а в 2008 году избыточный вес был почти у трех четвертей населения США.

Вы можете самостоятельно построить график роста распространенности ожирения во времени, как мы сделали это с вертикальным перемещением ракеты.

Далее вы можете сформировать линейную регрессию, которая будет выглядеть примерно так.

Прямая линия пересечет уровень 100 % в 2048 году. Именно поэтому Ванг пишет, что к 2048 году все американцы будут страдать избыточным весом, если текущая тенденция сохранится.

Но текущая тенденция не сохранится. Это просто невозможно! Если было бы так, то к 2060 году уже 109 % американцев имели бы избыточный вес[62].

В действительности график, отображающий рост доли людей с избыточным весом, изгибается к 100 % следующим образом.

Этот закон отнюдь не незыблем, как и в случае, когда сила тяжести изгибает траекторию движения ракеты в виде параболы, однако он близок к реальности с медицинской точки зрения. Чем больше доля людей с избыточным весом, тем меньше остается худощавых людей, которые могли бы стать толстыми, и тем медленнее доля людей с избыточным весом приближается к 100 %. На самом деле в какой-то точке ниже 100 % эта кривая перейдет в горизонтальную линию. Худые всегда будут с нами! В действительности четыре года спустя по результатам опроса NHANES было установлено, что распространенность избыточного веса начала замедляться{32}.

Однако статья в журнале Obesity скрывает еще худшее преступление против математики и здравого смысла. Сделать линейную регрессию довольно легко – и как только вы выполнили ее один раз, возникает соблазн делать это и дальше. Поэтому Ванг и его коллеги разбили свои данные на категории по этнической и половой принадлежности. Например, оказалось, что чернокожие мужчины с меньшей вероятностью имеют избыточный вес, чем американцы в целом. Еще важнее, что среди чернокожих мужчин количество людей с избыточным весом увеличивалось в два раза медленнее. Если мы отобразим на одном рисунке графики увеличения доли людей с избыточным весом среди чернокожих мужчин и среди всех американцев, а также линейную регрессию, построенную Вангом и его коллегами, получится следующая картина.