Как не ошибаться. Сила математического мышления

Значительное количество проблем Гильберта было вскоре решено; другие проблемы, например под номером восемнадцать – о максимально плотной упаковке сфер, – были решены только недавно. Некоторые проблемы до сих пор остаются нерешенными, и многие математики активно пытаются найти их решение. В частности, за решение проблемы под номером восемь (доказательство гипотезы Римана) Фонд Клэя выплатит вознаграждение в размере одного миллион долларов. Минимум в одном случае великий Гильберт ошибся. В проблеме под номером десять он предложил найти алгоритм, позволявший взять любое уравнение и определить, есть ли у него решение, при котором все переменные принимают целочисленные значения, но в 1960–1970-е годы математики Мартин Дэвис, Юрий Матиясевич, Хилари Патнэм и Джулия Робинсон опубликовали ряд работ, в которых было доказано, что такого алгоритма не существует. (Специалисты по теории чисел вздохнули с облегчением: было бы немного досадно, если оказалось бы, что некий формальный алгоритм способен автоматически решать задачи, на которые мы тратим столько лет.)

От всех остальных проблем Гильберта отличалась проблема под номером два. В ней был сформулирован не столько математический вопрос, сколько вопрос об отношении к самой математике. Свое описание этой задачи Гильберт начал с безоговорочной поддержки формалистского подхода к математике:

Занимаясь исследованием основ науки, мы должны сформировать систему аксиом, содержащую точное и исчерпывающее описание связей, существующих между элементарными понятиями этой науки. Выстроенные таким образом аксиомы являются вместе с тем определениями этих элементарных понятий; при этом ни одно утверждение в области той науки, основы которой мы изучаем, нельзя считать правильным до тех пор, пока оно не будет выведено из этих аксиом посредством конечного числа логических операций{278}.

К тому времени, когда Гильберт выступал в Париже с докладом, он уже пересмотрел аксиомы Евклида и переписал их так, чтобы исключить любые следы неопределенности; при этом он неукоснительно придерживался принципа полного вытеснения геометрической интуиции. Его версия этих аксиом действительно сохраняет свой смысл даже в случае, если заменить точки и прямые лягушками и кумкватами. Сам Гильберт говорил об этом так: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках»[311]{279}. Одним из первых приверженцев новой геометрии был молодой Абрахам Вальд, который еще во время учебы в Вене показал, что некоторые аксиомы Гильберта можно вывести из других, а значит, без них можно обойтись[312].

Гильберт не хотел ограничиваться геометрией. Он мечтал создать сугубо формальную математику, в которой заявление, что утверждение истинно, было бы равноценно заявлению, что это утверждение подчиняется изначально установленным правилам – ни больше, ни меньше. Такая математика понравилась бы Антонину Скалиа. Аксиомы, которые Гильберт планировал использовать в арифметике и которые впервые сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано, на первый взгляд не кажутся тем, в отношении чего могут возникать интересные вопросы или разногласия. Эти аксиомы содержат утверждения такого рода: «Ноль – это число», «Если x равно y, а y равно z, тогда х равно z» и «Если число, непосредственно следующее за числом x, тождественно числу, непосредственно следующему за числом y, тогда числа x и y тождественны». Все эти истины мы считаем самоочевидными.

Аксиомы Пеано интересны тем, что на основании этих малейших отправных точек можно создать серьезные математические построения. На первый взгляд сами аксиомы касаются только целых чисел, но даже Пеано показал, что, начав с аксиом и двигаясь дальше посредством определения и логической дедукции, можно определить рациональные числа и их основные свойства[313]. После того как в XIX столетии было обнаружено, что общепринятые определения в математическом анализе и геометрии логически неполноценны, мир математики охватил кризис и смятение. Гильберт воспринимал формализм как способ начать все с чистого листа, опираясь при этом на фундаментальную, абсолютно непреложную основу.