Юный техник, 2003 № 07

Проблема Пуанкаре рассматривает так называемую трехмерную сферу. Давайте попробуем представить этот странный предмет, разобравшись для начала со сферой двумерной. Чтобы получить ее, нужно взять плоский резиновый лист, вырезать из него диск и натянуть на некий трехмерный предмет, чтобы вся окружность диска оказалась собранной в одной точке. Наглядный пример тому — рюкзак, горловину которого затягивают шнуром.

А вот если попробовать той же резиновой пленкой обтянуть тор-бублик, то никоим образом не удастся затянуть узел в одной точке…

Так вот, проблема Пуанкаре гласит, что сфера — единственная трехмерная фигура, в которой любая замкнутая петля может быть сжата в точку.

Казалось бы: что здесь такого? Однако до сих пор никому не удалось доказать истинность этого предположения.

Для математиков решение важно еще и потому, что без доказательства трудно понять свойства гиперповерхности. И значительная часть топологии поэтому попросту не развивается.

Кроме того, судя по некоторым предположениям, наша Вселенная вполне может оказаться трехмерной сферой. Так что решение проблемы Пуанкаре весьма пригодилось бы и в космологии.

Эту гипотезу за прошедшее столетие пытались штурмовать неоднократно. Но безуспешно. Впрочем, 37-летнего Григория Перельмана это не остановило.

Г. Перельман

Впервые он заинтересовался проблемой еще в школьные годы, когда учился в знаменитой 239-й математической средней школе г. Ленинграда. По ее окончании, как участник международных математических олимпиад, он был зачислен на мехмат Ленинградского государственного университета без экзаменов, по результатам собеседования. В студенческие годы неоднократно побеждал на городских и всесоюзных математических олимпиадах.

Университет окончил с отличием и тут же поступил в аспирантуру при Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова. Ныне кандидат физико-математических наук. Известен среди коллег работами в различных областях топологии и геометрии.

Если международные светила, тщательно проверяющие сейчас доказательства Перельмана, не найдут в его работе ошибок, он получит премию в 1 млн. долларов от Института математики Клэя.

С.НИКОЛАЕВ

Кстати…

ЗАДАЧИ ЕЩЕ ОСТАЛИСЬ…

Кроме гипотезы Пуанкаре, как сообщает журнал New Scientist, в перечне Института Клэя остаются другие задачи, за решение которых можно получить значительные премии.

Например, задача Навье — Стокса описывает потоки в текучих средах. Еще в 1821 году французский инженер и математик Клод Навье начал составлять уравнения для описания потока вязкой жидкости. Позже уравнения были усовершенствованы ирландцем Джорджем Габриэлем Стоксом и теперь известны как уравнения Навье — Стокса.

Именно они описывают те воздушные потоки, которые удерживают самолет в воздухе. И все же инженеры, создающие большие пассажирские лайнеры и космические «челноки», вынуждены и по сей день пользоваться приблизительными формулами для этих уравнений, рассчитывая их на компьютерах. Найти же точное их решение пока не удалось никому.

Причем, чтобы выиграть приз Института Клэя, даже не обязательно решить эти уравнения. Он достанется тому, кто первым докажет, что применительно к текучей среде в трехмерном пространстве существует такое решение уравнений Навье — Стокса, которое всегда истинно.

Другие задачи из призового списка Института Клэя на первый взгляд не имеют такой практической ценности, однако они по-прежнему не дают покоя математикам. А иногда и физикам.

Например, гипотеза Янга — Миллса о разрыве массы гласит: если элементарная частица обладает массой, существует нижний предел этой массы, которой она может обладать. Проблема занимает центральное место как в математике, так и в квантовой физике, поскольку объясняет, почему масса обладает квантовыми свойствами.

Для того чтобы объяснить разрыв массы, необходимо решить уравнения, которые объединяют все силы природы. И как только ученые получат ответ, в их распоряжении окажется «теория всего», создание которой наверняка заслужит Нобелевскую премию по физике.

PS. Одно из решений проблемы Пуанкаре представлено по адресуuk/sta ff/L Математически корректные условия задач, за каждую из которых обещан 1 млн. долларов, можно найти на сайте Института Клэя, США: http://www.daymal

Приятно, что молодое поколение продолжает интересоваться математикой. И хорошо, что интерес этот ныне может быть стимулирован и финансово.

ВОЗВРАЩАЯСЬ К НАПЕЧАТАННОМУ Рукотворные острова

Мы уж не раз рассказывали вам (см., например, «ЮТ» № 5 за 1996 г. и № 3 за 1998 г.) об искусственных островах. Но время идет, появляются новые интересные проекты, и мы снова возвращаемся к теме.