Юный техник, 2000 № 01

1. Дома Винни-Пуха и Пятачка находятся на расстоянии 1 км друг от друга. Однажды они одновременно вышли из своих домов и каждый пошел в каком-то направлении по прямой. Винни-Пух проходил 3 км в час, а Пятачок — 4 км в час. Через некоторое время они встретились. Сколько времени могло продолжаться их путешествие? Укажите наибольшее и наименьшее время.

2. Внутри острого угла отмечена точка А. Найдите на сторонах угла точки Б и С так, чтобы периметр треугольника ABC был наименьшим.

3. Имеются три сосуда емкостей 3 л, 3 л и 7 л. Можно ли, пользуясь этими сосудами, налить в большой сосуд ровно 5 л воды?

4. Найти все пятизначные числа вида

2m57n = 2х10⁴ + mх10³ + 5х10² + 7х10 + n (где m и n тип — цифры),

которые делятся на 15.

5. На плоскости даны три прямые а, b и с, не проходящие через одну точку. Построить на прямых а и Ь точки А и В так, чтобы отрезок АВ был перпендикулярен прямой с и делился этой прямой пополам.

6. Числа х, у, z последовательные члены арифметической прогрессии, их сумма равна 21. Числа х — 1, у + 1, z + 21 являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Найти числа х, у, z.

7. Решить уравнение

8. В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора оказалось, что 52 % из них — белые. Если отложить три самых маленьких гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько грибов было в корзине?

9. Острый угол ABC ромба ABCD равен 60°. Окружность проходит через точку пересечения диагоналей ромба, касается прямой АВ в точке В и пересекает сторону CD в точке С. Определить, в каком отношении точка Е делит отрезок CD.

10. Множество А состоит из всех точек плоскости, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе неравенств

Определить, при каких значениях параметра а множество А содержит отрезок [—2; —1] оси Ох.

11. Решить неравенство

12. Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС равнобедренного треугольника ABC. Точка М расположена на медиане AL так, что AM: ML = 13:12. Окружность с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках Р и Q. Найти периметр треугольника ABC, если KL = 10, PQ = 4.

13. Решить систему уравнений

14. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а; Ь) которых таковы, что система уравнений

имеет решение.

Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (4; 3) и имеет с фигурой Ф единственную общую точку.

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ

1. Автомобиль первую треть пути ехал со скоростью V₁ = 30 км/ч, оставшуюся часть пути он ехал со скоростью в два раза большей средней скорости на всем пути. Найти скорость автомобиля на второй части пути.

2. Труба массой m = 100 кг лежит на земле. Какую минимальную силу F надо приложить к концу трубы, чтобы его приподнять?

3. С вертолета сфотографирован пароход идущий по озеру курсом на север. На фотографии (рис. 1) запечатлен шлейф дыма от парохода. Определите по фотографии скорость парохода, если съемка проводилась при юго-западном ветре, скорость которого V = 5 м/с.

4. В два цилиндрических сообщающихся сосуда наливают ртуть. Площадь сечения одного из сосудов вдвое больше площади сечения другого. Широкий сосуд доливают водой до края. На какую высоту h поднимется при этом уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути был на расстоянии l от верхнего края сосуда. Плотности ртути р и воды р₀ известны.

5. В сосуде с водой плавает кусок льда, удерживаемый нитью (рис. 2). Сила натяжения нити f = 10Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если лед растает? Площадь сечения сосуда S = 100 см².

6. В калориметр налили ложку горячей воды, после чего его температура возросла на t₁ = 5 °C. После того, как добавили вторую ложку той же горячей воды, температура калориметра возросла на t₂ = 3 °C. На сколько градусов увеличится температура калориметра, если в него добавить третью ложку той же горячей воды? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

7. Электронагреватель мощностью 100 Вт не может довести до кипения 1 л воды в кастрюле. Оценить, за какое время температура воды упадет на 1 градус после выключения нагревателя.

8. Цепочка из двух последовательно соединенных резисторов подключена к источнику постоянного напряжения U = 12 В. Сопротивление одного из них R₁ = 36 Ом. При каком значении сопротивления R₂ второго резистора тепловая мощность, выделяемая на нем, будет максимальна? Найти эту максимальную мощность.

9. Трамвай движется со скоростью 10 м/с. После включения тормозов он начинает двигаться равнозамедленно. При каком ускорении трамвай пройдет путь 8 м за 2 с.

10. Бусинка может двигаться по неподвижному кольцу радиуса R, подталкиваемая спицей, равномерно вращающейся с постоянной угловой скоростью  в плоскости кольца (рис. 3).

Ось вращения спицы проходит через точку О кольца. Определите ускорение бусинки. Бусинка и спица при движении касаются друг друга.