Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Как можно прийти к выводу о существовании гравитационных волн наиболее простым способом? Рассмотрим метрику g_ab какого-либо пространства-времени. Предположим, что она незначительно отличается от метрики пространства Минковского. Напомним, что последняя в лоренцевых координатах представлена диагональной матрицей _ab = diag (1, –1, –1, –1). Возмущения реальной метрики пространства-времени по отношению к метрике Минковского можно представить соотношением g_ab = _ab + h_ab. Теперь, давайте, подставим g_ab в этом виде в уравнениях ОТО без источников (без материальной части) и сохраним только линейную часть по h_ab.

В результате для h_ab получим точно такие же волновые уравнения, как уравнения Максвелла для электрического поля или магнитной индукции. Причем уравнения показывают, что волна возмущений h_ab также распространяется со скоростью света в плоском пространстве-времени.

Какой же физический смысл распространяющейся волны h_ab? Еще раз напомним, что метрика определяет способ измерения расстояний в пространстве-времени. Следовательно, величины h_ab должны определять насколько и как этот способ будет возмущен. Образно можно представить себе гравитационную волну как мелкую «рябь», бегущую «по плоскости» пространства Минковского. Аналогично, метрические бегущие возмущения можно рассмотреть по отношению к какому-либо известному (фиксированному) искривленному пространству-времени. Например, если распространяющиеся возмущения рассматривают по отношению к космологическим решениям, то это гравитационные волны во Вселенной. Здесь уместно сравнение с мелкой «рябью» на поверхности океана, причем большой радиус кривизны мирового океана можно сравнить с фоновой кривизной пространства-времени Вселенной.

Легко понять, как гравитационные волны действуют на частицы и материю вообще. Их взаимодействие с макроскопическими телами можно сравнить с качанием «лодки» на ряби «фонового океана». Подобно тому, как заряженная частица в поле электромагнитной волны начинает совершать колебания, взаимодействие гравитационной волны с макроскопическими телами приводит к их движению. Появляются относительные ускорения между телами, и это приводит к изменению физического расстояния между ними.

В общем случае, в силу симметрии по индексам, метрическое возмущение h_ab представляет 10 независимых компонент (величин). Какой физический смысл имеют эти величины, и все ли они имеют физическое (наблюдаемое) значение? Вспомним, что уравнения ОТО допускают изменения координат. При этом выбор различных систем координат не сказывается на физических эффектах, но может значительно упростить выражения. Воспользуемся этой свободой. В случае слабой плоской гравитационной волны, которую мы и рассматриваем, это позволяет наложить 8 условий на h_ab, обращая 8 компонент из 10-ти в нуль.

Таким образом избавляются от так называемых нефизических степеней свободы. Оставшиеся две компоненты, для которых приняты обозначения h₊ и h_x, уже невозможно уничтожить никакими координатными преобразованиями, они описывают реальное воздействие гравитационной волны на пробные частицы. Их называют физическими степенями свободы.

Итак, гравитационная волна в ОТО имеет две степени свободы (поляризации). Как и электромагнитная, она является поперечной. Ее действие описывается следующим образом. В плоскости, перпендикулярной распространению, расположим по окружности пробные массивные частицы, как на рис. 10.2. Под действием одной из поляризаций волны окружность будет деформироваться в пульсирующий эллипс, большая и малая оси которого будут поочередно переходить одна в другую. Для другой поляризации ось соответствующего эллипса расположена под углом 45o к оси первого эллипса. В общем случае действием волны будет суперпозиция этих двух смещений.

Относительное изменение расстояния между двумя пробными частицами в поле плоской гравитационной волны определяется выражением l/l h/2. Это соотношение показывает, что по своему физическому смыслу амплитуда является безразмерной величиной. Часто ее называют «безразмерной амплитудой возмущений метрики», создаваемых гравитационной волной. Кроме того, важен угол между направлением распространения волны и отрезком, соединяющим частицы. В силу поперечного характера, если эти направления совпадают (угол нулевой), то эффекта не будет, если они ортогональны, то эффект максимален.

Рис. 10.2. Действие гравитационной волны

Генерация гравитационного излучения