Головоломки и развлечения

Окружность шеи великанов была больше окружности шеи нормального человека во столько же раз, во сколько раз был больше ее поперечник, т. е. в 12 раз. И если нормальному человеку нужен воротничок номер 40, то для великана понадобился бы номер 40 x x 12 = 480.

Мы видим, что у Свифта все, казалось бы, столь причудливые образы его фантазии тщательно рассчитаны. Пушкин в ответ на некоторые упреки критиков «Евгения Онегина» заметил, что в его романе «время расчислено по календарю». С таким же правом мог бы Свифт сказать о «Гулливере», что все его образцы добросовестно рассчитаны по правилам геометрии (но не правилам механики — в этом отношении можно сделать Свифту существенные упреки).

Магические квадраты

Наименьший магический квадрат

Составление магических, или волшебных, квадратов — старинный и еще сейчас весьма распространенный вид математических развлечений. Задача состоит в отыскании такого расположения последовательных чисел (начиная с 1) по клеткам разграфленного квадрата, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы.

Наименьший магический квадрат — 9-клеточный; легко убедиться испытанием, что магический квадрат из четырех клеток существовать не может. Вот образчик 9-клеточного магического квадрата:

Сложим ли мы в этом квадрате числа 4 + + 3 + 8, или 2 + 7 + 6, или 3 + 5 + 7, или 4 + + 5 + 6, или любой другой ряд из трех чисел, мы во всех случаях получим одну и ту же сумму 15. Итог этот можно предвидеть, не составляя еще самого квадрата: три строки квадрата — верхняя, средняя и нижняя — должны заключать все его 9 чисел, составляющие в сумме

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

С другой стороны, сумма эта должна быть равна, очевидно, утроенному итогу одной строки. Отсюда для каждой строки имеем итог:

45: 3 = 15.

Подобным же образом можно заранее определить сумму чисел строки или столбца любого другого математического квадрата, состоящего из какого угодно числа клеток. Для этого нужно сумму всех чисел квадрата разделить на число его строк.

Повороты и отражения

Составив один магический квадрат, легко получить его видоизменения, то есть найти ряд новых магических квадратов. Если, например, мы составили квадрат (рисунок а), то, повернув его мысленно на четверть полного оборота (на 90°), получим другой математический квадрат (рисунок б):

Дальнейшие повороты — на 180° (половину полного оборота) и на 270° (три четверти полного оборота) — дадут еще два видоизменения начального квадрата.

Каждый из вновь полученных магических квадратов можно, в свою очередь, видоизменить, если представить себе, что он как бы отражен в зеркале. На рисунке ниже показаны начальный квадрат и одно из его зеркальных отражений.

Проделав с 9-клеточным квадратом все повороты и отражения, получаем следующие его видоизменения:

Это полный набор всех магических квадратов, какие вообще могут быть составлены из первых девяти цифр.

Способ Баше

Познакомимся со старинным приемом составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3 × 3, 5 × 7, 7 × 7 и т. п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден, между прочим, и для 9-клеточного квадрата, то удобнее всего начать описание способа именно с этого наиболее простого примера. Итак, приступим к составлению 9-клеточного магического квадрата по способу Баше.

Начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке.

Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше).

В результате получаем квадрат:

Применяем правило Баше к составлению квадрата из 5 × 5 клеток. Начинаем с расположения:

Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, состоящими вне квадрата («террасы»), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический 25-клеточный квадрат.

Обоснование этого простого приема довольно сложно; читатели могут удостовериться на практике, что способ правилен.

Составив один магический квадрат из 25 клеток, вы путем поворотов и отражений можете получить его видоизменения.

Индийский способ

Способ Баше, или, как его иначе называют, «способ террас», — не единственный для составления квадратов с нечетным числом клеток. Из других существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный, как полагают, в Индии еще до начала нашего летоисчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Внимательно прочтите все правила, а затем проследите их применение на примере магического квадрата из 49 клеток:

1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу среднего справа столбца — 2.