Гиперпространство

В качестве аналогии рассмотрим трехмерный куб. Хотя флатландец не в состоянии вообразить себе этот куб целиком, мы можем представить развертку куба в трех измерениях, в итоге получим шесть квадратов, образующих крест. Разумеется, флатландец не может снова собрать из этих квадратов куб. В мире двух измерений квадраты жестко соединены между собой и лишены подвижности. А в третьем измерении стыки подвижны. Флатландец, наблюдающий это явление, увидит, как квадраты исчезают, пока в его вселенной не останется лишь один из них (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Флатландцы не могут увидеть куб, но могут представить трехмерный куб по его развертке. С точки зрения флатландца, развернутый куб напоминает крест из шести квадратов. Мы тоже не можем увидеть четырехмерный гиперкуб, но его развертка представляет собой ряд кубов, расположенных крестообразным тессерактом. Хотя кубы тессеракта выглядят лишенными подвижности, житель четырехмерного пространства способен вновь «сложить» из кубов гиперкуб.

Точно так же нельзя представить себе гиперкуб в четырех измерениях. Но можно сделать развертку гиперкуба, разложить его на элементы — обычные для трехмерного пространства кубы. Эти кубы, в свою очередь, можно расположить трехмерным крестом — тессерактом. Мы не в силах представить себе, как сложить из этих кубов гиперкуб. А гость из высшего измерения перенесет каждый куб из нашего мира в свой и соберет из них гиперкуб. (Наблюдая за этим удивительным событием своими трехмерными глазами, мы увидим только, что другие кубы исчезают, а в нашем мире остается лишь один куб.) Влияние Хинтона распространилось настолько широко, что Сальвадор Дали воспользовался тессерактом в знаменитой картине «Распятие, или Гиперкубическое тело» из коллекции Метрополитен-музея в Нью-Йорке. Эта картина изображает Христа, распятого на четырехмерном кресте (рис. 3.7).

Рис. 3.7. На картине «Распятие, или Гиперкубическое тело» Сальвадор Дали изобразил Христа распятым на тессеракте — развернутом гиперкубе (Метрополитен-музей, дар Честера Дейла, собрание музея, 1995 г.) (1993. Ars, New York/Demart Pro Arte, Geneva).

Хинтон знал и второй способ визуализации многомерных объектов: с помощью теней, которые они отбрасывают в нижних измерениях. К примеру, флатландец может представить себе куб, посмотрев на его двумерную тень. Куб выглядит как два квадрата, соединенных вместе. Так и гиперкуб отбрасывает в третьем измерении тень, превращаясь в куб внутри куба (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Флатландец может визуализировать куб, изучая тень, которую он отбрасывает: эта тень выглядит как квадрат в квадрате. Если куб вращается, эти квадраты совершают движения, невозможные с точки зрения флатландца. Так и тень гиперкуба — куб внутри куба. Если гиперкуб вращается в четырехмерном пространстве, эти кубы совершают движения, немыслимые для нашего трехмерного мозга.

Помимо визуализации разверток гиперкубов и рассматривания их теней, Хинтон знал третий способ, помогающий представить четвертое измерение: способ поперечных сечений. К примеру, когда мистера Квадрата переносят в третье измерение, его глаза видят только двумерные поперечные сечения объемных предметов. Так, он видит, как круги появляются, увеличиваются в размерах, меняют цвет, а затем вдруг исчезают. Двигаясь мимо яблока, мистер Квадрат увидел бы, как красный круг возник словно из воздуха, постепенно увеличился, потом начал сжиматься, превратился в маленький коричневый кружочек (хвостик яблока) и наконец исчез. Хинтон понимал, что мы, попав в четвертое измерение, тоже могли увидеть, как странные предметы вдруг появляются откуда ни возьмись, увеличиваются, меняют цвет и форму, уменьшаются и наконец исчезают.