Фрегат капитана Единицы

— Внимание! — сказал капитан. — Фрегат идёт вдоль берега Точных Доказательств. Здесь надо вести судно особенно осторожно: повсюду подстерегают подводные камни. Один неумелый манёвр — и можно утонуть в море Ошибок. Вот герб берега Точных Доказательств.

Капитан протянул нам памятный значок. На одной его стороне было написано: «Меньше слов — больше смысла», а на обороте — «Требуйте точных и красивых доказательств!»

Да, это вам не бухта Аксиома, где ничего нельзя доказывать! Здесь не только можно, но и нужно. Но капитан сказал, чтобы я не слишком торопился отделаться от аксиомы. Потому что без аксиомы ничегошеньки не докажешь. Ни одной теоремы!

— Чего-чего? — переспросил я.

— Те-о-ре-мы! — повторил капитан. — Это слово греческое и означает в переводе «обдумывание». Для того чтобы доказать теорему, надо много думать.

Я сказал, что, наверное, очень трудно доказывать теоремы. Но капитан ответил, что совсем не трудно, если всё время думать логически, то есть рассуждать правильно, последовательно, так, чтобы одна мысль вытекала из другой, а не противоречила ей. Уметь логически рассуждать важно каждому, а математику — особенно.

Я попросил капитана доказать какую-нибудь теорему. Он нарисовал два треугольника, оба прямоугольные, — я это понял сразу, потому что не успел ещё забыть легенду про маму-Гипотенузу и братьев-Катетов. Капитан велел запомнить, что точки, где сходятся стороны треугольника, называются вершинами и что вершин у треугольника три. Он их обозначил латинскими буквами. У одного треугольника — большими (А, В, С), у второго — маленькими (а, b, с).

— Эти треугольники замечательны тем, — продолжал капитан, — что как меньшие, так и большие катеты у обоих одинаковой длины. Вот и надо доказать, что при этом треугольники равны между собой.

Я чуть было не брякнул, что это очень просто, но капитан остановил меня.

— Первым делом, — сказал он, — надо определить, что такое равные треугольники. Ведь прежде чем что-либо доказывать, надо знать, что собираешься доказать. Так вот. Если ты возьмёшь два треугольника, наложишь их аккуратно один на другой и они в точности совпадут, то такие треугольники и называются равными.

Я тут же решил вырезать один из нарисованных треугольников, а потом наложить его на другой, но капитан сказал, что это будет не доказательство теоремы, а кит знает что.

Во-первых, нам может только показаться, что треугольники совпали, потому что зрение наше несовершенно. Но если даже треугольники совпадут в точности, мы докажем лишь то, что равны только эти треугольники. А теорема должна быть справедливой не для двух, а для всех прямоугольных треугольников, у которых катеты соответственно равны.

— А для этого, друзья, — закончил капитан, — нужно уметь рассуждать. Думать надо, думать!

Ничего не поделаешь, придётся немножко и подумать.

— Начнём доказательство со слов: «Допустим, что…», — сказал капитан. — Допустим, что я мысленно (обратите внимание — мысленно!) накладываю вершину прямого угла одного треугольника на вершину прямого угла второго — точку А на точку а. А потом осторожно накладываю друг на друга два равных катета. Как вы думаете, совпадут концы этих катетов или нет? Совпадут точки В и в?

— Совпадут, — ответил Пи, — ведь катеты эти одинаковой длины.

— Верно. Теперь допустим, что эти катеты крепко-накрепко склеились. Наложатся друг на друга два других катета? Думайте, думайте!

— Ясно, наложатся, — ответил я. — Углы между катетами у обоих треугольников прямые — значит, одинаковые, по 90 градусов, длины катетов тоже одинаковые.

— Ты делаешь успехи, Нулик! — похвалил капитан. — Итак, логика помогла нам выяснить, что катеты обоих треугольников накрепко склеились. Остаётся установить, совпали гипотенузы или нет.

Мы с Пи понимали, что гипотенузы должны совпасть, но капитан потребовал, чтобы мы это до-ка-за-ли! Да, нелёгкая это работа — из болота тащить бегемота! Хорошо, капитан дал наводящий вопрос: все ли вершины треугольника совпали?

— Все! — сказал Пи.

— Значит, — сообразил я, — совпали и гипотенузы ВС и вс!

Капитан прищурился:

— Ой ли? А из чего это следует?

Из чего? Ах я чудак этакий! Да из аксиомы! Аксиомы о том, что через две точки можно провести только одну прямую!

— Логично, — согласился капитан. — Теперь теорема доказана: треугольники в точности наложились один на другой. Стало быть, они равны между собой.

Ура! Да здравствуют аксиомы!!

ПОСТОЯННЫЕ ОТНОШЕНИЯ

4 нуляля

Какие чудные имена бывают у островов! Как вам, например, нравится такое — «Остров Отношений»? Мы с коком чуть со смеху не лопнули, когда услышали, что так называется нынешняя наша стоянка. Добро бы ещё это был Остров Добрых Отношений или, на худой конец, Остров Плохих Отношений… А то просто отношений — и всё тут!

Но капитан сказал, что остров этот ни к добрым, ни к плохим отношениям отношения не имеет. Это остров отношений математических.

Мы, конечно, потребовали объяснений и, как всегда, своё получили.

— Смотрите, — сказал капитан. И написал на листе блокнота вот что:

6:2 = 3

Ну, мы сразу поняли, что это пример на деление.