Физика в примерах и задачах

Рис. 3.1. Под каким углом следует тянуть за верёвку?

Рис. 3.2. Силы, действующие на санки

Считая санки материальной, точкой, можно принять что все действующие на санки силы - и сила тяжести mg, и сила реакции поверхности горки Q, и сила F, с которой тянут за верёвку, - приложены в одной точке (рис. 3.2). При равномерном движении санок векторная сумма всех действующих сил равна нулю:

F

+

Q

+

mg

=

0.

(1)

Для исследования уравнения (1) спроецируем это векторное равенство на два взаимно перпендикулярных направления: вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. При этом учтём, что проекция силы Q на направление нормали к плоскости есть нормальная сила реакции N, а проекция Q на направление вдоль плоскости есть сила трения скольжения F_тр. В результате вместо (1) получим

F cos

-

F

_тр

-

mg sin

=

0,

(2)

F sin

+

N

-

mg cos

=

0.

(3)

Для исследования зависимости силы F от угла необходимо исключить из этих уравнений N и F_тр, так как они сами зависят от угла . На основании закона Кулона - Амонтона

F

_тр

=

N

.

(4)

Выражая силу N из уравнения (3) и подставляя в (4), получаем

F

_тр

=

(

mg cos

-

F sin

).

(5)

Учитывая это выражение для силы трения, из уравнения (2) находим

F

=

mg

sin + cos

cos + sin

.

(6)

Числитель этого выражения не зависит от , поэтому сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Поэтому будем искать максимум выражения

f

=

cos

+

sin

.

(7)

Для нахождения максимума можно приравнять нулю производную этой функции: f'=0. Можно найти максимум и элементарно, сведя f к одной тригонометрической функции угла . Введём некоторую величину так, чтобы tg был равен коэффициенту трения :

=

tg

=

sin

cos

.

(8)

Такая замена возможна при любом , так как тангенс изменяется от - до . Подставляя , из соотношения (8) в выражение (7) и приводя правую часть к общему знаменателю, получаем

f

=

cos cos + sin sin

cos

=

cos(-)

cos

.

(9)

Теперь очевидно, что величина f максимальна при =, т.е. при

=

arctg

.

(10)

Вот под таким углом и следует тянуть санки за верёвку. Сила F при этом будет наименьшей. Чтобы найти её, подставим в (6) выражение (8) для и учтём, что в интересующем нас случае =. В результате после простых преобразований получаем

F

=

mg

sin(+)

.

(11)

Проанализируем полученный ответ. Прежде всего отметим, что приведённое решение имеет смысл только тогда, когда получившееся значение таково, что +=/2. Если +/2, то, как видно из рис. 3.2, сила F отклонялась бы влево от вертикали и не могла бы тащить санки в гору. В предельном случае +=/2 сила F направлена вертикально вверх и, как видно из формулы (11), равна по модулю силе тяжести mg. Это значит, что сила F просто удерживает санки на весу, а сила Q равна нулю.

Таким образом, форма ответа зависит от угла и коэффициента трения . Если +arctg /2, то ответ на поставленные вопросы даётся формулами (10) и (11). В противном случае сила F должна быть направлена вертикально вверх и равна по модулю силе тяжести mg.

Эта задача допускает изящное графическое решение. Для этого заметим, что формально введённая соотношением (8) величина имеет простой физический смысл: в силу закона Кулона - Амонтона (4) есть угол, образованный силой реакции опоры Q с нормалью к наклонной плоскости (рис. 3.2). Поэтому уравнение (1) легко исследовать графически.

Рис. 3.3. Графическое определение наименьшей силы F

Сначала изобразим на чертеже известную и по модулю, и по направлению силу mg (рис. 3.3). Что касается слагаемого Q, то нам заранее известно только его направление: как видно из рис. 3.2, оно составляет угол =arctg с нормалью к наклонной плоскости, т.е. угол + с вертикалью. Поэтому через конец вектора mg проводим прямую, составляющую угол + с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q, совмещая её начало с концом вектора mg. Далее в соответствии с уравнением (1) строим силу F, которая должна замыкать треугольник сил, т.е. соединять конец вектора Q с началом вектора mg. Из рис. 3.3 видно, что модуль силы F будет наименьшим, когда её направление образует прямой угол с направлением Q, т.е. угол + с горизонтом или, другими словами, угол =arctg со склоном горы.

Из рис. 3.3 видно, что это решение имеет смысл, только если +arctg /2. Обычно коэффициент трения невелик, и это условие не выполняется только при углах , близких к /2. Значит, решение, выражаемое формулой (10), может оказаться несправедливым только при подъёме на очень крутую гору.

В заключение предлагаем подумать над вопросом, почему передние колеса деревенской телеги, к оси которой прикрепляются оглобли, как правило, меньше задних.

4. Доски на наклонной плоскости.

На наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, лежат две доски, одна на другой (рис. 4.1). Можно ли подобрать такие значения масс досок m и m, коэффициентов трения досок о плоскость и друг о друга , чтобы нижняя доска выскользнула из-под верхней? В начальный момент доски покоятся.

Рис 4. Доски на наклонной плоскости