Физика пространства - времени

Сосредоточим теперь наше внимание на самих координатах как характеристике расположения события 𝐸 относительно начала 𝑂. Мы сделаем это, заранее признавая, что они зависят от выбора системы отсчёта. В этом отношении положение координат гораздо менее универсально, чем положение инвариантного интервала как меры взаимного разделения событий. Пусть так. Физика должна приладиться к тому, что есть в мире. Описывать удалённость событий друг от друга следует тем методом, который лучше соответствует обстоятельствам. Бывает, что торпедному катеру полезнее указать, что расстояние между носом и кормой атакуемого судна 50 м. Но в другом случае может быть, что ему гораздо важнее указать, что положение носа судна относительно кормы 40 м к северу и 30 м к востоку. В той задаче, которая нас занимает, нам не интересно, что мировая точка распада π-мезона отстоит от мировой точки его образования на величину инвариантного интервала τ, равную около 10⁻⁸ сек. Нам нужно охарактеризовать удалённость этих событий друг от друга самими координатами 𝑥 и 𝑡.

а) Диаграмма пространства-времени лабораторной системы отсчёта.

б) Диаграмма пространства-времени системы отсчёта ракеты.

Рис. 25. Координаты точек рождения (точка 𝑂) и распада (точка 𝐸) π-мезона, изображённые на диаграммах пространства-времени лабораторной системы и системы отсчёта ракеты.

Преобразование Лоренца для координат

Как бы сильно ни различались координаты (𝑥',𝑡') события 𝐸 в системе отсчёта ракеты от его координат (𝑥,𝑡) в лабораторной системе, эти два набора координат связаны друг с другом вполне определённым и простым законом. Этот закон выражается через преобразование Лоренца

𝑥

=

𝑥'

√1-β_𝑟²

+

β_𝑟𝑡'

√1-β_𝑟²

,

𝑡

=

β_𝑟𝑥'

√1-β_𝑟²

+

𝑡'

√1-β_𝑟²

,

(16)

где β_𝑟— скорость системы отсчёта ракеты относительно лабораторной системы отсчёта. Ввиду выполнения этого закона говорят, что координаты обеспечивают ковариантное описание взаимной удалённости событий в пространстве-времени в противоположность инвариантному описанию этой удалённости, обеспечиваемому интервалом. Корень «вари» в слове ковариантный»

Определение понятия «ковариантность»

указывает, что координаты изменяются (варьируют) при переходах от одной системы отсчёта к другой. Приставка «ко» означает, что преобразование координат всех событий производится по одному и тому же закону (координированно). Итак, для разных событий различны как координаты 𝑥' и 𝑡', так и координаты 𝑥 и 𝑡, но четвёрка коэффициентов

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

β

_𝑟

⋅

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

β

_𝑟

⋅

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

⎛

⎝

1-β

_𝑟

²

⎞-½

⎠

,

связывающая эти два набора координат, обладает значениями, не зависящими от того, какое событие рассматривается.

В этом разделе мы будем обсуждать вывод формул преобразования Лоренца, их использование и их сходство с известными формулами преобразований эвклидовой геометрии, иллюстрируемыми на примере притчи о землемерах.

Три принципа, на которых основано преобразование Лоренца

Вывод преобразования Лоренца основывается на трех принципах, которые мы уже можем сформулировать:

1) Коэффициенты преобразования не должны зависеть от того, какое событие рассматривается («ковариантность преобразования»).

2) Выбор коэффициентов преобразования должен соответствовать тому, что точка, фиксированная в системе отсчета ракеты, движется в лабораторной системе отсчета со скоростью β_𝑟 в положительном направлении оси 𝑥.

3) Коэффициенты преобразования должны быть такими, чтобы любой интервал имел одно и то же значение в лабораторной системе и в системе отсчета ракеты.

Эти три принципа легко применить к случаю распада π-мезона. В лабораторной системе отсчета это событие имеет координаты (𝑥,𝑡) относительно события — рождения мезона, и эти координаты должны быть выражены через скорость β_𝑟 системы отсчета ракеты, в которой π-мезон покоится. Эту скорость непосредственно даёт отношение координат 𝑥 и 𝑡,

𝑥

𝑡

=

β

_𝑟

,

так что

𝑥

=

β

_𝑟

𝑡

,

или

𝑥²

=

β

_𝑟

²

⋅

𝑡²

.

(17)

Первый этап вывода преобразования Лоренца

Временноподобный интервал, образованный 𝑥 и 𝑡, определяется временем жизни π-мезона в системе отсчёта ракеты (где мезон покоится в точке 𝑥'=0):

𝑡²-𝑥²

=

𝑡'²-𝑥'²

=

𝑡'²-0

=

τ

_π

²

.

Подставим в эту формулу β_𝑟²𝑡² вместо 𝑥² на основании уравнения (17). Получим

𝑡²

-

β

_𝑟

²𝑡²

=

𝑡'²

=

τ

_π

²

,

или

𝑡²

=

𝑡²

1-β_𝑟²

=

τ_π²

1-β_𝑟²

,

или

𝑡

=

𝑡'

√1-β_𝑟²

=

τ_π

√1-β_𝑟²

.

(Численный пример: положим β_𝑟=¹²/₁₃ скорости света; тогда 1-β_𝑟²=1-¹⁴⁴/₁₆₉=²⁵/₁₆₉ и (1-β²)⁻¹^/²=¹³/₅=2,6. Следовательно, время жизни π-мезона, измеренное в лаборатории, в 2,6 раза длиннее «собственного времени жизни», т.е. оно в 2,6 раза длиннее, чем время жизни, измеренное в системе отсчёта, связанной с самим мезоном). Расстояние, пройденное π-мезоном, равно времени движения, умноженному на скорость, так что

𝑥

=

β

_𝑟

𝑡

=

β_𝑟𝑡'

√1-β_𝑟²

.

Решение задачи о π-мезоне