Физика пространства - времени

а в вертикальном направлении (𝑧) она вдвое больше и имеет противоположный знак: +18⋅10⁻²⁴ м⁻². Это приливное воздействие мало, но это реальный и наблюдаемый эффект. Кроме того, это локально определённая величина, а Эйнштейн как раз говорил, что мы должны сконцентрировать своё внимание на локально определённых величинах, если хотим найти простое описание природы.

Эйнштейн говорит к тому же, что это «приливное воздействие» не требует для своего объяснения какой-то таинственной силы тяготения, распространяющейся через пространство-время и дополняющей структуру последнего. Напротив, «приливное воздействие» может и должно быть описано на языке геометрии самого пространства-времени как кривизна пространства-времени. Хотя Эйнштейн говорил о 4-мерном пространстве-времени, его понятие кривизны можно проиллюстрировать с помощью 2-мерной геометрии на поверхности сферы (рис. 137).

Рис. 137. Путешественники 𝐴 и 𝐵, начав двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, обнаруживают тем не менее, что приближаются друг к другу, пройдя некоторое расстояние. Истолкование 1: действует какая-то таинственная сила «тяготения». Истолкование 2: движение происходит на искривлённой поверхности.

Притча о двух путешественниках

Первый путешественник 𝐴 стоит на экваторе, готовый отправиться прямо на север. Его приятель 𝐵, стоявший плечом к плечу с 𝐴, поворачивается на 90° и направляется прямо на восток, проходит расстояние (Δ𝑥)₀=10 км по экватору, снова поворачивается на 90° и останавливается лицом к северу. После этого оба, и 𝐴, и 𝐴, начинают идти к северу и проходят по 200 км (рис. 137). Сначала их пути строго параллельны; более того, оба путешественника уверены, что каждый из них абсолютно точно выдерживает взятое им направление. Они не отклоняются ни вправо, ни влево. И тем не менее судья, посланный измерить расстояние между ними после того, как они прошли по 200 км, обнаруживает, что оно стало меньше первоначальных 10 км. Почему? Мы это прекрасно знаем: дело в том, что поверхность Земли искривлённая. Путешественники встретятся в конце концов на Северном полюсе. Обозначим широту через φ (φ=0°, cos φ=1 на экваторе, φ=90°, cos φ=0 на Северном полюсе). Тогда удаление одного путешественника от другого на некоторой промежуточной широте равно 10 км⋅cos φ. Для близких к экватору широт достаточно взять первые два члена разложения функции косинуса по степеням угла φ. Тогда мы получим для расстояния между путешественниками выражение Δ𝑥 = (Δ𝑥)₀ ⋅

⎛

⎜

⎝ 1 -

φ²

2

⎞

⎟

⎠ .

При этом угол φ определяется как отношение длины дуги 𝑠, пройденной с юга на север, к радиусу 𝑅 земного шара: φ=𝑠/𝑅. Таким образом, уменьшение первоначального расстояния (Δ𝑥)₀ определяется выражением (Δ𝑥)₀ - (Δ𝑥) = (Δ𝑥)₀ ⋅

φ²

2 = (Δ𝑥)₀ ⋅

𝑠²

2𝑅² .

Если сначала это расстояние было равно (Δ𝑥)₀=10 км, длина 𝑠=200 км, а радиус 𝑅=6371 км, то сокращение расстояния должно составить 0,005 км, или 5 м. Эта величина производит впечатление, однако не своим численным значением (что значат 5 м по сравнению с 10 000 м?), а принципиальным фактом существования такого расхождения. Ведь никакого расхождения не было бы, если бы охваченная движением путешественников область 10 км⋅200 км была плоской. Существование этого расхождения — самое непосредственное свидетельство того, что используемая при описании 2-мерной поверхности земного шара геометрия должна быть геометрией искривлённого пространства.

Измерение кривизны по изменению удаления друг от друга двух первоначально параллельных идеальных линий¹)

¹) Здесь большей частью под «идеальными линиями» и «мировыми линиями» авторы понимают не любые мировые линии, а экстремальные, т.е. геодезические линии. - Прим. перев.

Как же можно адекватно описать и количественно измерить эту кривизну? Как можно прийти к числу, не зависящему от длины пути и расстояния между путешественниками,— к числу, описывающему саму локальную кривизну, а не путешественников? Заметим сначала, что расстояние между 𝐴 и 𝐵 уменьшается в ускоряющемся темпе, так что целесообразно говорить именно об этом ускорении. Как можно оценить его величину? Воспользуемся тем фактом, что относительное ускорение есть скорость изменения относительной скорости, а относительная скорость в свою очередь есть скорость изменения расстояния. Поэтому начнём именно с расстояния (удаления) Δ𝑥 = (Δ𝑥)₀ - (Δ𝑥)₀

𝑠²

2𝑅² .