Физика пространства - времени

а) На рис. 129 электрон изображён до (𝐴) и после (𝐵) того, как он изменил направление своего движения на угол α. Жирная черта, пересекающая в каждом случае электрон,— проекция направления спина на плоскость орбиты (плоскость 𝑥𝑦). На рисунке представлен тот частный случай, когда эта проекция была направлена вдоль оси 𝑥 до изменения электроном его направления движения. Когда же произошло это изменение направления движения электрона как целого, ориентация спина должна была также измениться на некоторый малый угол 𝑑φ, и это изменение нельзя понять в рамках механики Ньютона! Чем оно вызвано? Его причиной является относительность одновременности.

Рис. 130. Заменим одиночный электрон, огибающий угол, двумя электронами, 𝐴 и 𝐵, движущимися по пересекающим прямым путям. Потребуем, чтобы ориентация спина у 𝐴 и у 𝐵 была одинаковой в системе отсчёта, где 𝐴 покоится.

Огибая угол, электрон испытывает сильное и резкое ускорение. К счастью, мы можем анализировать по отдельности шарики 𝐴 и 𝐵, движущиеся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, образующих в лабораторной системе отсчёта угол α, как это изображено на рис. 130. Ни один из этих шариков пусть не ускоряется, но в момент их встречи наблюдатели, движущиеся вместе с ними, могут зарегистрировать одинаковое направление осей вращения шариков 𝐴 и 𝐵. Рисунок в системе отсчёта ракеты изображает относительную ориентацию спинов в той системе отсчёта, где шарик 𝐴 покоится. Именно в этой системе отсчёта ракеты наблюдатель на 𝐴 производит сравнение ориентаций векторов спина. (Вопрос: какой наблюдатель проводит сравнение — 𝐴 или 𝐵? В том случае, когда угол α весьма мал, наблюдатель 𝐴 и наблюдатель 𝐵 будут почти покоиться друг относительно друга, так что в пределе всё равно, кто из них производит сравнение!) Так как мы заменяем одиночный шарик, огибающий угол, двумя шариками 𝐴 и 𝐵, мы требуем, чтобы в системе отсчёта ракеты проекции спина для 𝐴 и для 𝐵 были взаимно параллельны. Главное здесь в том, что хотя эти проекции и параллельны в системе отсчёта ракеты, они не параллельны в лабораторной системе отсчёта. В результате направление вектора спина электрона изменяется, когда электрон огибает угол, при наблюдении в лабораторной системе отсчёта.

Рис. 131. Исследование ориентации оси вращения шарика 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты; схема начерчена для того, чтобы получить ответы на вопросы: где и когда точка 𝑄 пересекает ось 𝑥? Где вследствие этого расположена точка 𝑄 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта?

На рис. 131 в крупном масштабе изображён шарик 𝐵. Обозначим, согласно этой схеме, концы проекции спиновой оси через 𝑃 и 𝑄. Выберем начала координат в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты так, чтобы в момент 𝑡=𝑡'=0 эти начала совпадали с точкой 𝑃. Тогда в системе отсчёта ракеты точка 𝑄 пересечёт ось 𝑥 в этот же момент 𝑡'=𝑡_𝑄'=0. Но в лабораторной системе отсчёта это будет не так! На рис. 131 показан электрон 𝐵 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта. Пусть 𝑥_𝑄 и 𝑡_𝑄 будут соответственно другой точкой и более поздним моментом времени в лабораторной системе отсчёта, при которых точка 𝑄 пересекает ось 𝑥. Пользуясь формулами преобразования Лоренца и полагая 𝑡_𝑄=0, покажите, что

𝑥

_𝑄

=

𝑥

_𝑄

'

ch θ

_𝑟

,

𝑡

_𝑄

=

𝑡

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

.

(128)

Вопрос: где находилась точка 𝑄 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта? К моменту 𝑡_𝑄 точка 𝑄 прошла расстояние β_𝑟 𝑡_𝑄, как это показано на рисунке. Покажите, исходя из него, что за это время координаты 𝑥 и 𝑦 точки 𝑄 изменились на величины

Δ

𝑥

=

β

_𝑟

 𝑡

_𝑄

cos α

=

β

_𝑟

 𝑥

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

cos α

,

Δ

𝑦

=

β

_𝑟

 𝑡

_𝑄

sin α

=

β

_𝑟

 𝑥

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

sin α

,

(129)

где на последнем этапе были использованы соотношения (128). Это значит, что в момент 𝑡=0 лабораторной системы отсчёта точка 𝑃 была (по определению) в начале координат, а точка 𝑄 имела координаты 𝑥_𝑄-Δ𝑥 и -Δ𝑦. Поэтому угол наклона 𝑑φ отрезка 𝑃𝑄 к горизонтали, найденный в лабораторной системе отсчёта в момент 𝑡=0, т.е. изменение ориентации вектора спина после того, как электрон обогнул угол, даётся выражением

tg 𝑑φ

=

-Δ𝑦

𝑥_𝑄-Δ𝑥

.

(130)

Подставляя сюда 𝑥_𝑄, Δ𝑥 и Δ𝑦 из соотношений (128) и (129) и производя упрощения, найдём

tg 𝑑φ

=

-β_𝑟²sin α

1-β_𝑟²cos α

.

В атоме β_𝑟≤𝑍/137 (см. упражнение 101), так что при малых 𝑍 β_𝑟≪1. Поэтому

tg 𝑑φ

≈

𝑑φ

≈

-β

_𝑟

²sin α

.

Это и есть тот угол, на который спиновая ось электрона поворачивается при огибании электроном угла α в том частном случае, когда проекция этой оси на плоскость орбиты электрона направлена первоначально вдоль его движения.

Рис. 132. Частный случай, когда электрон не изменяет ориентации своей оси при изменении направления движения.