Физика пространства - времени

Решение. Эта задача сводится к алгебраическим преобразованиям, и главное в ней — избежать ненужных алгебраических преобразований! Столкновение предполагается упругим, так что электрон и протон не уничтожаются в результате его и не возникает никакого излучения. В этом случае закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии. Обозначим через 𝑇_𝑒 кинетическую энергию налетающего электрона. В условии сказано, что после столкновения протон обладает половиной энергии налетающего электрона: 𝑇_𝑝=𝑇_𝑒/2. Поэтому и электрон уносит также половину своей первоначальной кинетической энергии: 𝑇_𝑒=𝑇_𝑒/2.

Столкновение является лобовым, так что все движения происходят вдоль оси 𝑥, а импульсы складываются как скаляры с учётом лишь их знаков. Электрон отскочит от протона, и поэтому его импульс после столкновения будет отрицательным. Из закона сохранения импульса следует

𝑝

_𝑒

=

𝑝

_𝑝

-

𝑝

_𝑒

.

Чтобы связать импульс с энергией, воспользуемся общей формулой

𝐸²

-

𝑝²

=

𝑚²

,

откуда

𝑝²

=

𝐸²

-

𝑚²

=

(𝑇+𝑚)²

-

𝑚²

=

=

𝑇²

+

2𝑚𝑇

+

𝑚²

-

𝑚²

=

𝑇²

+

2𝑚𝑇

,

подчёркнутые члены взаимно уничтожаются, так что

𝑝

=

√

𝑇²+2𝑚𝑇

.

Поэтому закон сохранения импульса можно переписать в виде

√

𝑇

_𝑒

²+2𝑚

_𝑒

𝑇

_𝑒

=

⎛

⎝

𝑇

_𝑝

²

+

2𝑚

_𝑝

𝑇

_𝑝

⎞½

⎠

-

⎛

⎝

𝑇

_𝑒

²

+

2𝑚

_𝑒

𝑇

_𝑒

⎞½

⎠

.

Подставляя сюда следствие закона сохранения энергии

𝑇

_𝑝

=

𝑇

_𝑒

=

𝑇_𝑒

2

,

получаем

√

𝑇

_𝑒

²+2𝑚

_𝑒

𝑇

_𝑒

=

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒²

4

+

𝑚

_𝑝

𝑇

_𝑒

⎞½

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒²

4

+

𝑚

_𝑒

𝑇

_𝑒

⎞½

⎟

⎠

.

Деление этого соотношения с обеих сторон на √𝑇_𝑒𝑚_𝑝 даёт

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

+

2𝑚_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

⎞½

⎟

⎠

-

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

𝑚_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

.

Как и требовали условия задачи, в этом уравнении имеется лишь одна неизвестная величина 𝑇_𝑒/𝑚_𝑝. Мы решим его приближённо, исходя из того факта, что масса покоя электрона приблизительно в 2000 раз меньше массы покоя протона, т.е. 𝑚_𝑒/𝑚_𝑝≪1. Пренебрежём этим отношением в только что полученном выражении и найдём

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

≈

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

⎞½

⎟

⎠

-

1

2

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

,

3

2

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

⎞½

⎟

⎠

≈

⎛

⎜

⎝

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

⎞½

⎟

⎠

.

Возводя обе стороны в квадрат, найдём

9

4

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

≈

𝑇_𝑒

4𝑚_𝑝

+

1

,

𝑇_𝑒

𝑚_𝑝

≈

1

2

.

Правильный ответ может отличаться от этого на часть или кратное величины 𝑚_𝑒/𝑚_𝑝=1/2000. Умножая решение с обеих сторон на 𝑚_𝑝𝑐², получим

𝑇

_𝑒,

_обычн

=

𝑇

_𝑒

𝑐²

=

𝑚_𝑝𝑐²

2

=

1000 Мэв

2

=

500

Мэв

.

92. Абсолютно неупругое столкновение

Рис. 118. 4-вектор энергии-импульса составной частицы после абсолютно неупругого соударения.

На первоначально покоившуюся свободную частицу массы 𝑚₁ налетает вторая частица с кинетической энергией 𝑇 и другой массой покоя 𝑚₁. При столкновении частицы слипаются и в дальнейшем движутся вместе. Чему равна масса покоя 𝑚 составной частицы после столкновения? При каких условиях масса покоя составной частицы сводится к ньютоновской величине 𝑚=𝑚₁+𝑚₂? Какой может быть с точки зрения этих условий максимальная величина кинетической энергии 𝑇 налетающей частицы, когда ньютоновский подход приблизительно справедлив? Обсуждение. Чему равен импульс системы до столкновения? Чему равен он после столкновения? Какие величины, изображённые на рис. 118, известны, а какие требуется определить, если дан импульс системы? Применима ли теорема Пифагора к «гипотенузе» этого «треугольника»? ▼

93*. Порождение частиц протонами

Ускорители для получения частиц высоких энергий строятся, в частности, для того, чтобы создавать в больших количествах для исследовательских целей некоторые из частиц с коротким временем жизни, которые в обычных условиях попадают в лаборатории лишь случайно как результат воздействия космических лучей. В процессе их порождения часть кинетической энергии частиц высокой энергии, полученных в ускорителе, превращается в массу покоя этих новых частиц. В 1955 г. Сегре с сотрудниками получил в Калифорнийском университете, Беркли, антипротоны (частицы той же массы, что протоны, но с отрицательным зарядом), бомбардируя пучком протонов покоящуюся мишень, содержащую водород (протоны) ¹). Ряд законов сохранения, действующих в физике элементарных частиц (сохранение заряда, сохранение числа барионов — тяжёлых частиц), требует одновременного создания вместе с антипротоном и обычного протона. Таким образом,налетающий протон и протон мишени должны сохраниться после столкновения, но плюс к этому возникает протон-антипротонная пара. Вопрос: чему равна та минимальная кинетическая энергия налетающего протона, которая способна вызвать образование пары? Эту минимальную кинетическую энергию называют пороговой энергией.

¹) O. Chamberlain, E. Segrè, C. Wiegand, T. Ypsilantis, Phisical Review, 100, 947, (1955).

Рис. 119. Ошибочная диаграмма порогового порождения протон-антипротонной пары в лабораторной системе отсчёта.