Физика пространства - времени

а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение 𝐸²-𝑝²=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией 𝐸',

𝐸'

=

𝐸 ch θ

_𝑟

⋅

(1-β

_𝑟

 cos φ)

,

(120)

и движется в направлении, образующем с осью 𝑥' угол φ', причём

cos φ'

=

cos φ-β_𝑟

1-β_𝑟 cos φ

.

(121)

б) Найдите обратные уравнения, выражающие 𝐸 и cos φ через 𝐸', cos φ' и β_𝑟. Сравните эти обратные уравнения с полученными в упражнении 22 («эффект прожектора»).

в) Если частота света в лабораторной системе отсчёта равна ν, то чему равна частота этого света ν' в системе отсчёта ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релятивистского эффекта Допплера (упражнение 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчёта покоится источник фотонов? ▼

76. Распад π⁰-мезона; подробный пример

Нейтральный пи-мезон (π⁰-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчёта в направлении оси 𝑥 и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчёта ракеты, где мезон покоится, эти фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦'. Определите энергии фотонов в системе отсчёта ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчёта.

Решение. В системе отсчёта ракеты π⁰-мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в противоположных направлениях в той системе отсчёта, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов 𝐸'=𝑝'). Таким образом, в системе отсчёта ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, 𝐸'=𝑚/2. Кроме того, эти фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦' (φ=±90°, так что cos '=0).

Энергия и направление вылета каждого из фотонов в лабораторной системе отсчёта могут быть найдены по формулам, полученным в упражнении 75:

𝐸

=

𝐸' ch θ

_𝑟

⋅

(1+β

_𝑟

 cos φ')

,

cos φ

=

cos φ'+β_𝑟

1+β_𝑟 cos φ'

.

Прежде всего необходимо найти величины θ_𝑟, и β_𝑟. Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона в лабораторной системе отсчёта до его распада была равна массе покоя; тогда

𝐸

_π

≡

𝑚 ch θ

_𝑟

≡

𝑇

+

𝑚

=

2𝑚

,

откуда

ch θ

_𝑟

=

1

√1-β_𝑟²

=

2

,

так что

β

_𝑟

=

√3

2

.

Подставьте теперь эти данные и величину 𝐸'=𝑚/2 в уравнения преобразования, и вы получите

𝐸

=

𝑚

,

cos φ

=

β

_𝑟

=

√3

2

,

так что φ=30°. Величину энергии можно было бы найти непосредственно по симметрии распада и по равенству полной энергии мезона до распада 2𝑚. Выводы подытожены на рис. 112. Проверьте, что в лабораторной системе отсчёта импульс сохраняется, как и энергия.

Рис. 112. Решение задачи о распаде π⁰-мезона.

77. Полёт неоновой лампочки

Неоновая лампочка, которая в своей системе покоя изотропно во всех направлениях излучает красный свет, приближается к наблюдателю с очень большого расстояния, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, по прямолинейному пути, отстоящему от наблюдателя на расстоянии 𝑙 по перпендикуляру. С течением времени изменяются как цвет излучения, так и число фотонов, приходящих к наблюдателю от лампочки. Качественно опишите эти изменения на различных этапах движения. Рассмотрите как эффект Допплера, так и «эффект прожектора» (упражнения 75 и 22). ▼

78. Физик и светофор

Физика задержали за то, что он поехал на красный свет. На суде он заявил, что приближался к перекрёстку на скорости, при которой красный свет казался ему зелёным. Судья, получивший в своё время физическое образование, обвинил тогда физика в превышении предельной скорости и присудил его к уплате одного доллара за превышение местного предела скорости 20 миль/час на каждую милю в час. Чему равна сумма штрафа? Примите длину волны зелёного света равной 5300 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м), а длину волны красного света — 6500 Å. Учтите, что свет распространялся в отрицательном направлении оси 𝑥 (φ=φ'=π). ▼

79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца

Солнце совершает один оборот вокруг своей оси за 24,7 суток. Радиус Солнца составляет около 7,0⋅10⁸ м. Вычислите величину допплеровского смещения, которое должно наблюдаться для света с длиной волны 5000 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м) на одном из краёв диска Солнца вблизи его экватора. Происходит ли это смещение в стороны красного или синего конца видимого спектра? Сравните величину смещения Допплера с величиной гравитационного красного смещения для поверхности Солнца (упражнение 73). ▼

80. Расширяющаяся Вселенная. (Вспомните упражнение 6)